Second derivative

Original article: w:Second derivative

The second derivative of a quadratic function is constant.

미적분학(calculus)에서, 함수(function) f의 두 번째 도함수(second derivative), 또는 이차 도함수(second order derivative)는 f의 도함수(derivative)의 도함수입니다. 대략 말해서, 이차 도함수는 수량의 변화율이 자체로 어떻게 변하는지를 측정합니다; 예를 들어, 시간에 관한 자동차의 위치의 이차 도함수는 자동차의 순간 가속도(acceleration), 또는 자동차의 속도(velocity)가 시간에 관해 변하는 것에서 비율입니다. 라이프니츠 표기법(Leibniz notation)에서:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}},$

여기서 마지막 항은 이차 도함수 표현입니다.

함수의 그래프(graph of a function)에서, 이차 도함수는 그래프의 곡률(curvature) 또는 볼록도(concavity)에 해당합니다. 양의 이차 도함수를 갖는 함수의 그래프는 위쪽으로 오목이지만, 음의 이차 도함수를 갖는 함수의 그래프는 반대 방향으로 곡선을 이룹니다.

Second derivative power rule

일차 도함수에 대해 거듭제곱 규칙(power rule)은, 만약 두 번 적용되면, 다음으로 이차 도함수 거듭제곱 규칙을 생산할 것입니다:

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}[x^{n}]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}[x^{n}]={\frac {d}{dx}}[nx^{n-1}]=n{\frac {d}{dx}}[x^{n-1}]=n(n-1)x^{n-2}.$

Notation

Further information: Notation for differentiation

함수 $f(x)$의 이차 도함수는 보통 $f''(x)$으로 표시됩니다. 즉:

$f''=(f')'$

도함수에 대해 라이프니츠의 표기법(Leibniz's notation)을 사용할 때, 독립 변수 x에 관한 종속 변수 y의 이차 도함수는 다음으로 쓰입니다:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

이 표기법은 다음 공식으로부터 도출됩니다:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

Example

다음 함수가 주어지면

$f(x)=x^{3},$

f의 도함수는 다음 함수입니다:

$f'(x)=3x^{2}.$

f의 이차 도함수는 f′의 도함수입니다, 즉:

$f''(x)=6x.$

Relation to the graph

A plot of $f(x)=\sin(2x)$ from $-\pi /4$ to $5\pi /4$. The tangent line is blue where the curve is concave up, green where the curve is concave down, and red at the inflection points (0, $\pi$/2, and $\pi$).

Concavity

함수 f의 이차 도함수는 f의 그래프의 오목성(concavity)을 측정합니다. 이차 도함수가 양수인 함수는 위로 오목(concave up)하게 될 것이며 (역시 볼록으로 참조됩니다), 접선(tangent)이 함수의 그래프 아래에 놓일 것임을 의미합니다. 비슷하게, 이차 도함수가 음수인 함수는 아래로 오목(concave down)하게 될 것이고 (역시 간단히 오목으로 불림), 그의 접선은 함수의 그래프 위에 놓일 것입니다.

Inflection points

Main article: Inflection point

만약 함수의 이차 도함수의 부호를 바뀌면, 함수의 그래프는 아래로 오목에서 위로 오목으로 전환하는 것, 또는 그 반대로 전환할 것입니다. 이것이 발생하는 점은 변곡점(inflection point)으로 불립니다. 이차 도함수가 연속이라고 가정하면, 그것은 임의의 변곡점에서 영의 값을 취해야 하지만, 이차 도함수가 영인 모든 각 점이 반드시 변곡점인 것은 아닙니다.

Second derivative test

Main article: Second derivative test

이차 도함수와 그래프 사이의 관계는 함수에 대해 정류 점(stationary point) (즉, $f'(x)=0$인 점)이 지역 최댓값(local maximum) 또는 지역 최솟값(local minimum)인지 여부를 테스트하기 위해 사용될 수 있습니다. 구체적으로,

• 만약 $\ f^{\prime \prime }(x)<0$이면, $\ f$는 $\ x$에서 지역 최댓값을 가집니다.
• 만약 $\ f^{\prime \prime }(x)>0$이면, $\ f$는 $\ x$에서 지역 최솟값을 가집니다.
• 만약 $\ f^{\prime \prime }(x)=0$이면, 이차 도함수 테스트는 점 $\ x$, 가능한 변곡 점에 대해 아무것도 말히지 않습니다.

이차 도함수가 이들 결과를 생성하는 이유는 실-생활 아날로그의 방법에 의해 알 수 있습니다. 처음에는 굉장한 속도로 앞으로 내달리지만, 음의 가속도를 갖는 자동차를 생각해 보십시오. 분명하게 속도가 영에 도달한 점에서 차량의 위치는 시작 위치에서 최대 거리가 될 것입니다 – 이 시간 후에, 속도가 음수가 될 것이고 차량이 후진할 것입니다. 같은 것은, 처음에는 매우 음의 속도이지만 양의 가속도를 갖는 차량과 함께, 최솟값에 대해 참입니다.

Limit

이차 도함수에 대해 단일 극한(limit)을 쓰는 것이 가능합니다:

$f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$

극한은 이차 대칭 도함수(second symmetric derivative)로 불립니다. 이차 대칭 도함수는 심지어 (보통) 이차 도함수가 존재하지 않을 때 존재할 수 있음에 주목하십시오.

오른쪽에 대한 표현은 차이 몫(difference quotient)의 차이 몫으로 쓸 수 있습니다:

${\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.$

이 극한은 수열(sequences)에 대해 이차 차이(second difference)의 연속 버전으로 보일 수 있습니다.

위의 극한의 존재가 함수 $f$가 이차 도함수를 가짐을 의미하지 않음에 주목하십시오. 위의 극한은 단지 이차 도함수를 계산할 가능성을 제공하지만 정의를 제공하지는 않습니다. 반대 예제는 부호 함수(sign function) $\operatorname {sgn} (x)$에서 볼 수 있으며 이것은 다음을 통해 정의됩니다:

$\operatorname {sgn} (x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$

부호 함수는 영에서 연속이 아니고 그러므로 $x=0$에 대해 이차 도함수는 존재하지 않습니다. 그러나 위의 극한은 $x=0$에 대해 존재합니다:

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn} (0+h)-2\operatorname {sgn} (0)+\operatorname {sgn} (0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {1-2\cdot 0+(-1)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}\\&=0\end{aligned}}$

Quadratic approximation

일차 도함수가 선형 근사(linear approximation)와 관련된 것처럼, 이차 도함수는 함수 f에 대해 최상의 이차 근사(quadratic approximation)와 관련됩니다. 이것은 그의 일차 및 이차 도함수가 주어진 점에서 f의 그것과 같은 이차 함수(quadratic function)입니다. 점 x = a 주변의 함수 f에 대한 이차 근사에 대해 공식은 다음입니다:

$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.$

이 이차 근사는 x = a에 중심을 둔 함수에 대해 이-차 테일러 다항식(Taylor polynomial)입니다.

Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative

경계 조건(boundary conditions)의 많은 조합에 대해, 이차 도함수의 고유-값 및 고유-벡터에 대해 명백한 공식이 얻어질 수 있습니다. 예를 들어 $x\in [0,L]$ 및 동차 디리클레 경계 조건(Dirichlet boundary conditions), 즉, $v(0)=v(L)=0$을 가정하면, 고윳값(eigenvalues)은 $\lambda _{j}=-{\frac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$이고 대응하는 고유-벡터(eigenvectors) (역시 고유-함수(eigenfunctions)로 불림)는 $v_{j}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {j\pi x}{L}}\right)$입니다. 여기서, $v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty$입니다.

다른 잘 알려진 경우에 대해, 주요 기사 이차 도함수의 고윳값 및 고유-벡터를 참조하십시오.

Generalization to higher dimensions

The Hessian

Main article: Hessian matrix

이차 도함수는 이차 부분 도함수(partial derivative)의 개념을 통해 더-높은 차원으로 일반화됩니다. 함수 f:R³ → R에 대해, 이들은 세 개의 이차 부분

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

및 혼합된 부분

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}$

을 포함합니다.

만약 함수의 이미지와 도메인 둘 다가 퍼텐셜을 가지면, 이들은 헤세(Hessian)로 알려진 대칭 행렬(symmetric matrix)에 함께 맞춰집니다. 이 행렬의 고윳값(eigenvalue)은 이차 도함수 테스트의 다변수 아날로그를 구현하기 위해 사용됩니다. (이차 부분 도함수 테스트(second partial derivative test)를 참조하십시오.)

The Laplacian

Main article: Laplace operator

이차 도함수의 또 다른 공통적인 일반화는 라플라스(Laplacian)입니다. 이것은 다음에 의해 정의된 미분 연산자 $\nabla ^{2}$입니다:

$\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$

함수의 라플라스는 그래디언트(gradient)의 발산(divergence)과 같고 헤세 행렬의 대각합(trace)입니다.

See also

• Chirpyness, second derivative of instantaneous phase

Further reading

Print

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Spivak, Michael (September 1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

Online books

• Crowell, Benjamin (2003), Calculus
• Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
• Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, archived from the original on 2006-04-15
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
• Strang, Gilbert (1991), Calculus
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, archived from the original on 2005-09-11
• Wikibooks, Calculus

External links

• Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points