Lebesgue integration

The integral of a positive function can be interpreted as the area under a curve.

수학(mathematics)에서, 단일 변수의 비-음의 함수(function)의 적분(integral)은, 가장 간단한 경우에서, 해당 함수의 그래프(graph)와 $x$ -축 사이의 넓이(area)로 여길 수 있습니다. 르베그 적분(Lebesgue integral)은 함수의 더 큰 클래스로 적분을 확장합니다. 그것은 이들 함수가 정의될 수 있는 것 위에 도메인(domain)을 역시 확장합니다.

20세기가 도래하기 오래 전에, 수학자들은—닫힌(closed) 경계진(bounded) 구간(interval) 위에 연속 함수(continuous function)와 같은—매끄러운(smooth) 충분한 그래프를 가진 비-음의 함수에 대해 곡선 아래의 넓이가 적분으로 정의될 수 있고, 다각형(polygon)에 의한 영역으로 근사 기법을 사용하여 계산될 수 있음을 이미 이해했습니다. 어쨌든, 더 많은 불규칙한 함수를 고려할 필요가 생김으로써—예를 들어, 수학적 해석학(mathematical analysis)의 극한적인(limiting) 과정과 확률의 수학적 이론(theory of probability)의 결과로써—그것은 적절한 적분을 정의하기 위해 보다 주의깊은 근사 기법이 필요해진다는 것이 분명해졌습니다. 역시, 우리는 실수 직선보다 보다 일반적인 공간 위에 적분하기를 원할 수 있습니다. 르베그 적분은 이 중요한 일을 하기 위해 필요한 추상화를 제공합니다.

르베그 적분은 확률 이론, 실수 해석학(real analysis), 및 수학적 과학의 많은 다른 분야에서 중요한 역할을 합니다. 그것은, 적분을 도입한, 앙리 르베그(Henri Lebesgue) (1875–1941)의 이름을 따서 지어졌습니다 (Lebesgue 1904). 그것은 확률의 공리적 이론(axiomatic theory of probability)의 역시 중추적인 부분입니다.

용어 르베그 적분화(Lebesgue integration)는, 르베그에 의해 도입된, 일반적인 측정(measure)에 관한 함수의 적분화의 일반적인 이론 또는 르베그 측정(Lebesgue measure)에 관한 실수 직선(real line)의 부분-도메인 위에 정의된 함수의 적분화의 특정한 경우를 의미할 수 있습니다.

Introduction

극한 $a$ 와 $b$ 사이의 양의 함수 $f$ 의 적분은 $f$ 의 그래프 아래의 넓이로 해석될 수 있습니다. 이것은 다항식(polynomials)과 같은 익숙한 함수에 대해 이해하기 쉽지만, 보다 이국적인 함수에 대해 그것은 무엇을 의미할까요? 일반적으로, 함수의 어떤 클래스에 대해 "곡선 아래의 넓이"가 의미를 가질까요? 이 질문에 대한 대답은 굉장한 이론적인 및 실용적인 중요성을 가집니다.

19세기 수학에서 엄격한 쪽으로 일반적인 운동의 부분으로, 수학자들은 확고한 토대 위에 적분 미적분학을 놓기를 시도했습니다. 리만 적분(Riemann integral)—베른하르트 리만(Bernhard Riemann) (1826–1866)에 의해 제안된—은 그러한 기초를 제공하기 위한 대체로 성공적인 시도입니다. 리만의 정의는 주어진 함수의 적분에 수렴되는 쉽게 계산된 넓이의 수열의 구성으로 시작합니다. 이 정의는 많은 이미-해결된 문제에 대해 예상되는 답을 제공하고, 많은 다른 문제에 대해 유용한 결과를 제공한다는 의미에서 성공적입니다.

어쨌든, 리만 적분은 함수의 수열의 극한을 취하는 것과 잘 상호-작용하지 않으므로, 이러한 극한하는 프로세스를 해석하기 어렵게 만듭니다. 이것은, 예를 들어, 푸리에 급수(Fourier series), 푸리에 변환(Fourier transform), 및 다른 주제의 연구에서 중요합니다. 르베그 적분은 (강력한 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem) 및 지배 수렴 정리(dominated convergence theorem)를 통해) 적분 기호 아래에서 극한을 취하는 것이 가능한 방법과 시기를 더 잘 설명할 수 있습니다.

리만 적분은 수직 직사각형으로 만들어진 것으로 곡선 아래의 면적을 고려하지만, 르베그 정의는 반드시 직사각형일 필요는 없는 수평 슬랩을 고려했고, 그래서 그것은 보다 유연합니다. 이 이유에 대해, 르베그 정의는 함수의 더 넓은 클래스에 대해 적분을 계산하는 것을 가능하게 만듭니다. 예를 들어, 그의 인수가 무리수(irrational number)이면 0이고, 그렇지 않으면 1인, 디리클레 함수(Dirichlet function)는 르베그 적분을 가지지만, 리만 적분을 갖지는 않습니다. 게다가, 이 함수의 르베그 적분은 영이고, 이것은 단위 구간으로부터 무작위에서 균등하게 실수를 선택할 때 유리수를 선택하는 것의 확률이 영이어야 한다는 직관과 일치합니다.

르베그는 폴 몽텔(Paul Montel)에게 보내는 편지에서 적분화에 대한 그의 접근을 요약했습니다:

나는, 내가 내 주머니에 모아져 왔던 것으로, 특정 합을 지불해야 합니다. 나는 지폐와 동전을 주머니에서 꺼내, 내가 총액에 도달할 때 까지 내가 그들을 발견하기 위해서, 그것을 채권자에게 줍니다. 이것이 리만 적분입니다. 그러나 나는 다르게 진행할 수 있습니다. 내가 주머니에서 모든 돈을 취한 후에 내가 같은 값에 따라 지폐와 동전을 맞춘 다음 내가 채권자에게 차례로 여러 더미(heap)를 지불합니다. 이것은 나의 적분입니다.
— Source: (Siegmund-Schultze 2008)

통찰력은 우리가 자유롭게 함수의 값을 재배열할 수 있어야 하지만, 적분의 값을 보존해야 한다는 것입니다. 재배열의 이런 과정은 매우 병리학적 함수를 적분화의 관점으로부터 "좋은" 것 중에 하나로 변환할 수 있고, 따라서 그러한 병리학적 함수(pathological function)를 적분하는 것을 허용합니다.

Intuitive interpretation

적분화에 다른 접근에 대한 어떤 직감을 얻기 위해, 우리가 (해수면 위의) 산의 부피를 구하기를 원한다고 상상해 보십시오.

리만–다르부 접근: 산의 밑바닥을 1미터 정사각형의 격자로 나눕니다. 각 정사각형의 중앙에서 산의 고도를 측정합니다. 단일 격자 정사각형 위의 부피는 근사적으로 1 m² × (그 정사각형의 고도)이므로, 전체 부피는 고도의 합 곱하기 1 m²입니다.

르베그 접근: 인접한 등고선이 고도의 1미터 떨어져서, 산의 등고선 맵(contour map)을 그립니다. 단일 등고선에 포함된 지구의 부피는 근사적으로 1 m × (그 등고선의 넓이)이므로, 전체 부피는 이들 넓이의 합 곱하기 1 m입니다.

폴랜드는 리만과 르베그 접근 사이의 차이를 다음으로 요약합니다, 따라서: " $f$ 의 리만 적분을 계산하기 위해, 우리는 도메인 $[a, b]$ 를 부분-구간으로 분할하지만, 르베그 적분에서 "우리는 $f$ 의 범위를 실제로 분할하는 것입니다."^[1]

Towards a formal definition

르베그 적분을 정의하기 위해서는, 대략적으로, 실수의 각 집합 $A$ 에 $A$ 의 "크기"를 나타내는 비-음의 숫자 $μ(A)$ 를 결합시키는 측정(measure)의 공식적인 개념을 요구합니다. "크기"의 이 개념은 구간의 보통 길이 또는 구간의 서로소 합집합과 부합되어야 합니다. $f : ℝ \to ℝ +$ 가 비-음의 실수-값 함수로 가정합니다. " $f$ 의 범위를 분할하는" 철학을 사용하여, $f$ 의 적분은 $y = t$ 와 $y = t - dt$ 사이의 얇은 수평 조각에 포함된 기본 넓이의 $t$ 에 걸쳐 합이 되어야 합니다. 이 기본 넓이는 바로 다음입니다:

\mu \left(\{x\mid f(x)>t\}\right)\,dt.

다음을 놓습니다:

f^{*}(t)=\mu \left(\{x\mid f(x)>t\}\right).

$f$ 의 르베그 적분은 그런-다음 다음에 의해 정의됩니다:^[2]

\int f\,d\mu =\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt

여기서 오른쪽 위의 적분은 보통의 부적절한 리만 적분(improper Riemann integral)입니다. $f *$ 는 비-음의 감소하는 함수이고, 따라서 구간 $[0,\infty]$ 안의 값을 갖는 잘-정의된 부적절한 리만 적분을 가짐을 주목하십시오. 함수 (측정-가능 함수)의 적당한 클래스에 대해, 이것은 르베그 적분을 정의합니다.

일반적인 (반드시 양수는 아닌) 측정-가능 함수 $f$ 는, 만약 $f$ 의 그래프와 $x$ -축 사이의 넓이가 유한이면, 르베그 적분-가능입니다:

\int |f|\,d\mu <+\infty .

해당 경우에서, 리만 경우에서 처럼, 적분은 $x$ -축 위의 넓이와 $x$ -축 아래의 넓이 사이의 차이입니다:

\int f\,d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu

여기서 $f=f^{+}-f^{-}$ 는 f를 다음에 의해 제공되는 두 비-음의 함수의 차이로 분해입니다:

{\begin{aligned}f^{+}(x)&=\max\{f(x),0\}&=&{\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0,\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\f^{-}(x)&=\max\{-f(x),0\}&=&{\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{aligned}}

Construction

르베그 적분의 이론은 측정-가능 집합의 이론과 이들 집합 위의 측정, 마찬가지로 측정-가능 함수의 이론과 이들 함수 위의 적분을 요구합니다.

Measure theory

측정 이론(Measure theory)은 초기에 실수 직선의 부분 집합 길이—및, 보다 일반적으로, 유클리드 공간의 부분 집합의 넓이와 부피의 개념의 유용한 추상화를 제공하기 위해 생성되었습니다. 특히, 그것은 $ℝ$ 의 부분 집합의 어떤 것이 길이를 가지고 있는가에 대한 질문에 시스템적 답을 제공했습니다. 나중의 집합 이론(set theory) 개발이 보였던 것처럼 (비-측정가능 집합(non-measurable set)을 참조하십시오), 어떤 자연적인 덧셈성 및 평행이동 불변 속성을 보존하는 방법에서 $ℝ$ 의 모든 부분-집합에 길이를 할당하는 것은 실제로 불가능합니다. 이는 측정-가능 부분-집합의 적당한 클래스를 선택하는 것이 필수적인 전제 조건임을 암시합니다.

리만 적분은 명시적으로 길이의 개념을 사용합니다. 실제로, 리만 적분에 대해 계산의 원소는 직사각형 $[a, b] \times [c, d]$ 이며, 그의 넓이는 $(b - a)(d - c)$ 인 것으로 계산됩니다. 양 $b - a$ 는 직사각형의 밑변의 길이이고 $d - c$ 는 직사각형의 높이입니다. 리만은 곡선 아래의 넓이를 근사하기 위해 평면 직사각형을 오직 사용할 수 있었는데, 왜냐하면 보다 일반적인 집합를 측정하는 것에 대해 적절한 이론이 없기 때문입니다.

대부분 현대 교과서 (1950년 이후)의 이론의 개발에서, 측정과 적분화에 대한 접근은 공리적입니다. 이것은, 측정이 속성의 특정 목록을 만족시키는, 집합 $E$ 의 부분-집합의 특정 클래스 $X$ 위에 정의된 임의의 함수 μ임을 의미합니다. 이들 속성은 많은 다른 경우에서 유지되는 것으로 보일 수 있습니다.

Measurable functions

우리는 측정 공간(measure space) $(E, X, μ)$ 으로 시작하며, 여기서 $E$ 는 집합(set), $X$ 는 $E$ 의 부분-집합의 σ-대수(σ-algebra)이고, μ가 $X$ 의 집합 위에 정의된 $E$ 위의 (비-음의) 측정(measure)입니다.

예를 들어, $E$ 는 유클리드 $n$ -공간 $ℝ n$ 또는 그것의 어떤 르베그 측정-가능(Lebesgue measurable) 부분-집합이 될 수 있으며, $X$ 는 $E$ 의 모든 르베그 측정-가능 부분-집합의 σ-대수(σ-algebra)이고, μ는 르베그 측정입니다. 확률의 수학적 이론에서, 우리는 확률(probability) 측정 $μ$ 로 우리의 연구를 한정하며, 이것은 $μ(E) = 1$ 을 만족시킵니다.

르베그의 이론은 측정-가능 함수(measurable function)로 불리는 함수의 클래스에 대해 적분을 정의합니다. $E$ 위의 실수-값 함수 $f$ 는, 만약 형식 $(t, \infty)$ 의 모든 각 구간의 이전-이미지(pre-image)는 $X$ 안에 있으면, 측정-가능입니다:

\{x\,\mid \,f(x)>t\}\in X\quad \forall t\in \mathbb {R} .

우리는 이것이 ℝ의 임의의 보렐(Borel) 부분-집합의 이전-이미지가 $X$ 안에 있는 것을 요구하는 것과 동등하다는 것을 보여줄 수 있습니다. 측정-가능 함수의 집합은 대수적 연산 아래에 닫혀 있지만, 보다 중요하게 그것은 점-별 수열적 극한의 다양한 종류 아래 닫혀 있습니다:

\sup _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \liminf _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \limsup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}

은, 만약, $k \in ℕ$ 인, 원래 수열 $(f k) k$ 가 측정-가능 함수로 구성되면, 측정-가능입니다.

적분을 정의하는 것에 대해 여러 접근이 있습니다: $E$ 위의 정의된 측정-가능 실수-값 함수 $f$ 에 대해,

\int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f\left(x\right)\,d\mu \left(x\right)

.

Constructing the integral

Approximating a function by simple functions.

르베그 적분을 구성하는 한 가지 접근은 소위 단순 함수: 지시 함수의 유한한 실수-선형 조합의 사용을 만드는 것입니다 – 측정 이론 초심자에 대해, 르베그 적분의 이 구성은 리만 합(Riemann sum)이 리만 적분(Riemann integral)의 정의/구성과 함께 사용되는 방법과 비교될 때 보다 직관적으로 이해됩니다. 단순 함수는, 범위를 층으로 분할함으로써, 측정-가능 함수를 근사하기 위해 사용될 수 있습니다. 단순 함수의 적분은 주어진 층의 측정, 곱하기 해당 층의 높이와 같습니다. 비-음의 일반적인 측정-가능 함수의 적분은 그런-다음 단순 함수에 의한 근사의 적절한 상한(supremum)으로 정의되고, (반드시 양수는 아닌) 측정-가능 함수의 적분은, 일찍이 언급된 것처럼, 비-음이 측정-가능 함수의 두 적분의 차이입니다.

Indicator functions

주어진 측정 μ와 일치하는 측정-가능 집합 $S$ 의 지시 함수(indicator function) $1 S$ 의 적분에 값을 할당하기 위해, 오직 합리적인 선택은 다음을 설정하는 것입니다:

\int 1_{S}\,d\mu =\mu (S).

그 결과는, 만약 $μ$ 가 유한 측정이 아니라면, $+\infty$ 와 같을 수 있음을 주의하십시오.

Simple functions

계수 $a k$ 가 실수이고 집합 $S k$ 가 서로소 측정-가능 집합인, 다음 지시 함수

\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}

의 유한 선형 조합(linear combination)은 측정-가능 단순 함수(simple function)로 불립니다. 우리는 선형성에 의해 적분을 비-음의 측정-가능 단순 함수로 확장합니다. 계수 $a k$ 가 비-음수일 때, 우리는 다음을 정합니다:

\int \left(\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}\right)\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\int 1_{S_{k}}\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k}).

관례 $0 \times \infty = 0$ 은 반드시 사용되어야 하고, 그 결과는 무한일 수 있습니다. 비록 단순 함수가 지시 함수의 선형 조합으로 많은 방법으로 쓸 수 있을지라도, 적분은 항상 같습니다. 이것은 측정의 덧셈성 속성을 사용하여 보일 수 있습니다.

일부 관심은, 정의되지 않은 표현 $\infty - \infty$ 를 피하기 위해, 실수-값 단순 함수의 적분을 정의할 때 필요됩니다: 우리는 다음 표현

f=\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}

이 $a k \neq 0$ 일 때마다 $μ(S k) < \infty$ 를 만족함을 가정합니다. 그런-다음 $f$ 의 적분에 대해 위의 공식은 의미가 있고, 그 결과는 가정을 만족시키는 $f$ 의 특정 표현에 의존하지 않습니다.

만약 $B$ 가 $E$ 의 측정-가능 부분-집합이고 $s$ 가 측정-가능 단순 함수이면, 우리는 다음을 정의합니다:

\int _{B}s\,d\mu =\int 1_{B}\,s\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k}\cap B).

Non-negative functions

$f$ 를 $E$ 위의 비-음의 측정-가능 함수로 놓으며, 우리는 이것을 값 $+\infty$ 에 도달하는 것을 허용합니다. 달리 말해서, $f$ 는 확장된 실수 직선(extended real number line)에서 비-음의 값을 취합니다. 우리는 다음을 정의합니다:

\int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\,\int _{E}s\,d\mu :0\leq s\leq f,\ s\ {\text{simple}}\,\right\}.

우리는 이 적분이, E가 선분 [a, b]일 때, 단순 함수의 집합 위에 정의된, 앞의 것과 일치한다는 것을 보이는 것이 필요합니다. 이것이 적분화의 리만 개념에 임의의 방법에서 일치하는지 여부에 대한 질문이 역시 있습니다. 질문 둘 다에 대한 답이 '예'임을 입증하는 것은 가능합니다.

우리는 E 위의 임의의 비-음의 확장된 실수-값 측정-가능 함수에 대해 f의 적분을 정의해 왔습니다. 일부 함수에 대해, 이 적분 ∫_E f dμ는 무한입니다.

(리만 합과 유사하게) 르베그 적분을 잘 근사하는 단순 함수의 특정 수열을 갖는 것이 종종 유용합니다. 비-음의 측정-가능 함수 $f$ 에 대해, $s_{n}(x)$ 를, (말하자면) $4^{n}$ 보다 작은 비-음의 정수 k에 대해, $k/2^{n}\leq f(x)<(k+1)/2^{n}$ 일 때마다 그의 값이 $k/2^{n}$ 인 단순 함수로 놓습니다. 그런-다음 다음

\int f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int s_{n}\,d\mu

인 것과 오른쪽 변에 대한 극한은 확장된 실수일 때 존재함을 직접 입증될 수 있습니다. 이것은 단순 함수를 사용하여 르베그 적분에 대한 접근과 범위의 분할을 사용하여 르베그 적분에 대해 동기 사이의 연결에 다리를 놓습니다.

Signed functions

부호화된 함수를 처리하기 위해, 우리는 몇 가지 정의가 더 필요합니다. 만약 $f$ 가 ( $\pm\infty$ 를 포함하는) 실수에 대한 집합 $E$ 의 측정-가능 함수이면, 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:

f=f^{+}-f^{-},\quad

여기서

f^{+}(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x)&{\text{if }}f(x)>0\\0&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.

f^{-}(x)=\left\{{\begin{matrix}-f(x)&{\text{if }}f(x)<0\\0&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.

$f +$ 와 $f -$ 둘 다는 비-음의 측정-가능 함수임을 주목하십시오. 역시 다음을 주목하십시오:

|f|=f^{+}+f^{-}.\quad

우리는, 만약 $\int f^{+}\,d\mu$ 와 $\int f^{-}\,d\mu$ 중 적어도 하나가 유한이면, 측정-가능 함수 $f$ 의 르베그 적분이 존재합니다, 또는 정의됩니다라고 말합니다:

\min \left(\int f^{+}\,d\mu ,\int f^{-}\,d\mu \right)<\infty .

이런 경우에서 우리는 다음을 정의합니다:

\int f\,d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu .

만약 다음이면,

\int |f|\,d\mu <\infty

,

우리는 $f$ 가 르베그 적분-가능임을 말합니다.

이 정의가 적분의 바람직한 속성을 제공한는 것으로 밝혔습니다.

Complex valued functions

복소(complex) 값 함수는 실수 부분과 허수 부분을 따로따로 고려함으로써 비슷하게 적분될 수 있습니다.

만약 실수-값 적분-가능 함수 f와 g에 대해 h=f+ig이면, h의 적분은 다음에 의해 정의됩니다:

\int h\,d\mu =\int f\,d\mu +i\int g\,d\mu .

함수가 르베그 적분-가능인 것과 그의 절댓값(absolute value)이 르베그 적분-가능인 것은 필요충분 조건입니다 (절대적 적분-가능 합수(Absolutely integrable function)를 참조하십시오).

Example

디리클레 함수로 역시 알려진, 유리수의 지시 함수(indicator function), $1 Q$ 를 생각해 보십시오. 이 함수는 아무 데도 연속이지 않습니다.

$1_{\mathbf {Q} }$ 는 $[0, 1]$ 위에 리만-적분 가능이 아닙니다: 집합 $[0, 1]$ 이 부분-구간들로 어떻게 분할되더라도, 각 분할은 적어도 하나의 유리수 및 적어도 하나의 무리수를 포함하는데, 왜냐하면 유리수와 무리수는 실수에서 둘 다 조밀하기 때문입니다. 따라서 위쪽 다르부 합(Darboux sum)은 모두 일이고, 아래쪽 다르부 합은 모두 영입니다.
$1_{\mathbf {Q} }$ 는 르베그 측정(Lebesgue measure)을 사용하여 $[0, 1]$ 위에 르베그-적분 가능입니다: 사실, 그것은 유리수의 지수 함수이며 그래서 정의에 의해 다음인데

\int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbf {Q} \cap [0,1])=0,

왜냐하면

Q

는 셀-수-있기(countable) 때문입니다.

Domain of integration

르베그 적분화에서 기술적인 이슈는 적분화의 도메인이, 방향의 개념을 갖지 않는, 집합 (측정 공간의 부분-집합)으로 정의된다는 것입니다. 초등 미적분학에서, 우리는 방향(orientation)의 관점에서 적분화를 정의됩니다:

\int _{b}^{a}f:=-\int _{a}^{b}f.

이것을 더 높은 차원으로 일반화하면 미분 형식(differential form)의 적분화를 산출합니다. 대조적으로, 르베그 적분화는, 측정에 관한 부분-집합에 걸쳐 적분하는, 대안적인 일반화를 제공합니다; 이것은 부분-집합 $A$ 에 걸쳐 적분화를 가리키기 위해 다음으로 표기될 수 있습니다:

\int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu

.

이들 일반화 사이의 관계의 자세한 설명에 대해, Differential form § Relation with measures를 참조하십시오.

Limitations of the Riemann integral

여기서 우리는 리만 적분의 한계와 르베그 적분에 의해 제공되는 더 큰 범위를 논의합니다. 이 논의는 리만 적분(Riemann integral)의 작동하는 이해를 가정합니다.

푸리에 급수(Fourier series)의 출현과 함께, 적분을 포함하는 많은 해석적 문제는 그의 만족스러운 해가 극한 과정과 적분 기호를 교환하는 것을 요구하는 것에서 왔습니다. 어쨌든, 다음 적분

\sum _{k}\int f_{k}(x)dx,\quad \int \left[\sum _{k}f_{k}(x)\right]dx

이 같은 것 아래에서 조건은 리만 프레임워크에서 꽤 알기 어렵게 입증됩니다. 리만 적분과 함께 일부 다른 기술적 어려움이 있습니다. 이것들은 위에서 논의된 극한을 취하는 어려움과 연결됩니다.

단조 수렴의 실패. 위에서 보여준 것처럼, 유리수 위의 지시 함수(indicator function) $1 Q$ 는 리만 적분-가능이 아닙니다. 특히, 단조 수렴 정리(Monotone convergence theorem)가 실패합니다. 이유를 알아보기 위해, ${a k$ }를 $[0, 1]$ 안의 모든 유리수의 열거로 놓습니다 (그들은 셀 수 있으므로 이것은 행해질 수 있습니다.) 그런-다음 다음을 놓습니다:

g_{k}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\text{if }}x=a_{j},j\leq k\\0&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.

함수 $g k$ 는, 점의 유한한 집합 위를 제외하고, 어디에서나 영입니다. 따라서 그의 리만 적분은 영입니다. 각각의 $g k$ 는 비-음수이고, 함수의 이 수열은 단조적으로 증가하지만, $k \to \infty$ 일 때 그의 극한은 $1 Q$ 이며, 이것은 리만 적분-가능이 아닙니다.

무경계 구간에 대한 부적합성. 리만 적분은 경계진 구간 위의 함수를 오직 적분할 수 있습니다. 그것은, 어쨌든, 극한을 취하는 것에 의해, 이것이 $\infty - \infty$ 와 같은 답을 산출하지 않은 한, 무경계 구간으로 확장될 수 있습니다.

유클리드 공간 이외의 구조 위에 적분하는 것. 리만 적분은 실수 직선의 순서 구조와 불가분적으로 연결됩니다.

Basic theorems of the Lebesgue integral

르베그 적분은 다음 속성을 가집니다:

거의-모든-곳에서(almost-everywhere) 상등의 동치 관계(Equivalence relation): 르베그 적분은 μ-측정 영의 집합 위에 오직 다른 함수 사이를 구별하지 않습니다. 이를 정확하게 만들기 위해, 함수 $f$ 와 $g$ 는 만약 다음이면 거의 모든 곳(almost erverywhere, 줄여서 a.e.)에서 같아진다고 말합니다:

\mu (\{x\in E:f(x)\neq g(x)\})=0.

만약 $f, g$ 는 거의 모든 곳에서 $f = g$ 를 만족하는 (아마도 값 $+\infty$ 을 가정하는) 비-음의 측정-가능 함수이면, 다음입니다:

\int f\,d\mu =\int g\,d\mu .

알기 위해, 적분은 거의 모든 곳에서 상등의 동치 관계를 존중합니다.

만약 $f, g$ 가 거의 모든 곳에서 $f = g$ 를 만족하는 함수이면, $f$ 가 르베그 적분-가능인 것과 $g$ 가 르베그 적분-가능인 것은 필요충분 조건이고, $f$ 와 $g$ 의 적분은, 만약 그들이 존재하면, 같습니다.

선형성(Linearity): 만약 $f$ 와 $g$ 가 르베그 적분-가능 함수이고 $a$ 와 $b$ 가 실수이면, $af + bg$ 는 르베그 적분-가능이고 다음입니다:

\int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu .

단조성(Monotonicity): 만약 $f \leq g$ 이면, 다음입니다:

\int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu .

단조 수렴 정리(Monotone convergence theorem): ${f k} k \in ℕ$ 가 다음을 만족하는 비-음의 측정-가능 함수의 수열이라고 가정합니다:

f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\quad \forall k\in \mathbb {N} ,\,\forall x\in E.

그런-다음, $f k$ 의 점별 극한 $f$ 는 르베그 측정-가능이고 다음입니다:

\lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .

적분의 임의의 하나의 값은 유한인 것으로 허용됩니다.

파투의 보조정리(Fatou's lemma): 만약 ${f k} k \in N$ 가 비-음의 측정-가능 함수의 수열이면, 다음입니다:

\int \liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf _{k}\int f_{k}\,d\mu .

다시, 적분의 임의의 하나의 값은 무한이 될 수 있습니다.

지배 수렴 정리(Dominated convergence theorem): 만약 ${f k} k \in N$ 가 점별 극한 $f$ 를 갖는 복소 측정-가능 함수의 수열이라고 가정하고, 모든 $k$ 에 대해 $| f k | \leq g$ 를 만족하는 (즉, $g$ 가 $공간 L 1 (space L 1)에 속하는$ ) 르베그 적분-가능 함수 $g$ 가 있습니다.

그런-다음, $f$ 는 르베그 적분 가능이고 다음입니다:

\lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .

Proof techniques

르베그 적분 이론에서 사용된 증명 기법의 일부를 묘사하기 위해, 우리는 위에서-언급된 르베그 단조 수렴 정리의 증명의 개요를 기술합니다. ${f k} k \in N$ 을 비-음의 측정-가능 함수의 비-감소하는 수열이라고 놓고 다음을 놓습니다:

f=\sup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}=\lim _{k\in \mathbb {N} }f_{k}.

적분의 단조성 속성에 의해, 즉각적으로 다음이고:

\int f\,d\mu \geq \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu

오른쪽의 극한은 존재하는데, 왜냐하면 수열은 단조적이기 때문입니다. 우리는 이제 다른 방향에서 부등식을 입증합니다. 그것은, $g n \leq f$ 와 다음을 만족하는 비-음의 단순 함수의 비-감소하는 수열 $(g n)$ 이 있다는 적분의 정의로부터 따릅니다:

\lim _{n}\int g_{n}\,d\mu =\int f\,d\mu

.

그러므로, 각 $n \in ℕ$ 에 대해 다음임을 증명하기 위해 충분합니다:

\int g_{n}\,d\mu \leq \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu .

우리는 만약 $g$ 가 단순 함수이고 거의 모든 곳에서 다음이면,

\lim _{k}f_{k}(x)\geq g(x)

다음임을 보일 것입니다:

\lim _{k}\int f_{k}\,d\mu \geq \int g\,d\mu .

함수 $g$ 를 그의 상수 값 부분으로 분해함으로써, 이것은 $g$ 가 집합의 지시 함수인 경우로 줄어듭니다. 우리가 증명해야 하는 결과는 그런-다음

$A$ 가 측정-가능 집합이고 ${f k} k \in ℕ$ 가, 거의 모든 $x \in A$ 에 대해 다음을 만족하는 $E$ 위의 비-음의 측정-가능 함수의 비-감소하는 수열로 가정합니다:
$\lim _{k}f_{k}(x)\geq 1$

그런-다음 다음입니다:

$\lim _{k}\int f_{k}\,d\mu \geq \mu (A).$

이 결과를 증명하기 위해, $ε > 0$ 를 고정하고 다음 측정-가능 집합의 수열을 정의합니다:

B_{k}=\{x\in A:f_{k}(x)\geq 1-\varepsilon \}.

적분의 단조성에 의해, 그것은, 임의의 $k \in ℕ$ 에 대해 다음을 따릅니다:

(1-\varepsilon )\mu (B_{k})=\int (1-\varepsilon )1_{B_{k}}\,d\mu \leq \int f_{k}\,d\mu

왜냐하면 거의 모든 각 $x$ 는 충분하게 큰 $k$ 에 대해 $B k$ 안에 있고, 우리는 측정 $0$ 의 집합까지(up to)^{[clarification needed]} 다음을 가집니다:

\bigcup _{k}B_{k}=A

.

따라서 $μ$ 의 셀-수-있는 덧셈성에 의해, 및 $B k$ 는 $k$ 와 함께 증가하기 때문에,

\mu (A)=\lim _{k}\mu (B_{k})\leq \lim _{k}(1-\varepsilon )^{-1}\int f_{k}\,d\mu .

이것은 임의의 양의 $ε$ 에 대해 참이므로 결과는 따릅니다.

단조 수렴 정리의 또 다른 증명에 대해, 우리는 다음을 따릅니다:^[1]

$(X, M, μ)$ 를 측정 공간으로 놓습니다.

${f n}$ 은 숫자의 증가하는 수열이고, 따라서 비록 그것이 $\infty$ 와 같을지라도, 그의 극한은 존재합니다. 우리는 다음이 되도록

\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}\leq \int f

,

모든 $n$ 에 대해, 다음임을 압니다:

\int f_{n}\leq \int f

.

이제 우리는 역 부등식을 수립할 필요가 있습니다. $α \in (0, 1)$ 를 고정하고, $ϕ$ 를 $0 \leq ϕ \leq f$ 를 갖는 단순 함수로 놓고 다음을 놓습니다:

E_{n}=\{x:f_{n}(x)\geq \alpha \phi (x)\}

.

그런-다음 ${E n}$ 는 $\bigcup \limits ^{\infty }E_{n}=X$ 를 갖는 측정-가능 집합의 증가하는 수열입니다. 우리는 다음임을 압니다:

\int f_{n}\geq \int \limits _{E_{n}}f_{n}\geq \alpha \int \limits _{E_{n}}\phi

.

이것은, 다음 극한을 포함해서, 모든 $n$ 에 대해 참입니다:

\lim \int \limits _{E_{n}}\phi =\int \phi

.

그러므로,

\lim \int f_{n}\geq \alpha \int \phi

.

이것은 모든 $α \in (0, 1)$ 에 대해 참이었으므로, 그것은 $α = 1$ 에 대해 참을 유지하고, $L +$ 에서 적분화의 정의에 의해 단순한 $ϕ \leq f$ 에 걸쳐 상한을 취합니다:

\lim \int f_{n}\geq \int f

.

이제 우리는 양쪽 부등식을 가지므로, 우리는 단조 수렴 정리를 보였습니다: $f {n +1} \geq f n$ , 및 점별 $f n \to f$ , ${f n} \in L +$ , $X \to [0, \infty]$ 로부터 양의 측정-가능 함수의 집합에 대해,

\lim \int f_{n}=\int f

.

Alternative formulations

측정 이론의 완전한 기계 장치에 의존없이 르베그 측정에 관한 적분을 나타내는 것은 가능합니다. 하나의 그러한 접근은 대니얼 적분(Daniell integral)에 의해 제공됩니다.

함수형 해석학(functional analysis)의 방법을 통해 적분화의 이론을 개발하는 것에 대한 역시 대안적인 접근이 있습니다. 리만 적분은 $ℝ n$ (또는 고정된 열린 부분-집합) 위에 정의된 컴팩트(compact) 지원(support)의 임의의 연속 함수 $f$ 에 대해 존재합니다. 보다 일반적인 함수의 적분은 이들 적분으로부터 시작하여 구축될 수 있습니다.

$C c$ 를 ℝ의 모든 실수-값 컴팩트하게 지원된 연속 함수의 공간으로 놓습니다. 다음에 의해 $C c$ 위의 노름을 정의합니다:

\left\|f\right\|=\int |f(x)|\,dx.

그런-다음 $C c$ 는 노름 벡터 공간입니다 (및 특별히, 그것은 메트릭 공간입니다.) 모든 메트릭 공간은 하우스도르프 완비화(Hausdorff completions)를 가지므로, $L 1$ 을 그의 완비화로 놓습니다. 이 공간은 르베그 적분-가능 함수 모듈로 적분 영을 갖는 함수의 부분-공간에 대한 동형입니다. 게다가, 리만 적분 $\int$ 은, $L 1$ 안의 조밀한, $C c$ 위의 노름에 관한 균등하게 연속(uniformly continuous) 함수형입니다. 따라서 $\int$ 는 모든 $L 1$ 에서 고유한 확장을 가집니다. 이 적분은 정확하게 르베그 적분입니다.

보다 일반적으로, 함수가 정의된 측정 공간은 역시 지역적으로 컴팩트(locally compact) 토폴로지적 공간(topological space)일 때 (실수 ℝ을 갖는 경우인 것처럼), 적절한 의미에서 토폴로지와 호환되는 측정 (르베그 측정이 예제인, 라돈 측정(Radon measure))은 그들에 관한 적분이 같은 방식으로 정의될 수 있으며, 컴팩트 지원(compact support)을 갖는 연속 함수(continuous function)의 적분으로부터 시작합니다. 보다 정확하게, 컴팩트하게 지원되는 함수는 자연 토폴로지(topology)를 전달하는 벡터 공간(vector space)을 형성하고, (라돈) 측정은 이 공간 위의 연속 선형 함수형일 때 정의됩니다. 컴팩트하게 지원되는 함수에서 측정의 값은 그런-다음 역시 정의에 따라 함수의 적분입니다. 우리는 그런-다음 측정 (적분)을 연속성에 의해 보다 일반적인 함수로 확장하고, 그의 지시 함수의 적분으로 집합의 측정을 정의합니다. 이것은 Bourbaki (2004)와 다른 많은 저자들에 의해 취해진 접근입니다. 자세한 내용에 대해 라돈 측정(Radon measures)을 참조하십시오.

Limitations of Lebesgue integral

르베그 적분의 주요 목적은 적분의 극한이 온화한 가정 아래에서 유지되는 적분 개념을 제공하는 것입니다. 모든 함수가 르베그 적분-가능이라는 보장이 없습니다. 그러나 그것은, 부적절한 적분(improper integral)이 르베그 적분-가능이 아닌 함수에 대해 존재한다는 것이 우연히 발생할 수 있을 것입니다. 하나의 예제는 전체 실수 직선에 걸쳐 다음일 것입니다:

{\frac {\sin(x)}{x}}

.

이 함수는 르베그 적분-가능이 아닌데, 왜냐하면 다음이기 때문입니다:

\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|dx=\infty .

다른 한편으로, $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}dx$ 는 부적절한 적분일 때 존재하고 유한으로 계산될 수 있습니다; 그것은 두번 드리클레 적분(Dirichlet integral)입니다.

Notes

^ ^a ^b Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Wiley. p. 56.
^ Lieb & Loss 2001

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[Folland-1] Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Wiley. p. 56.

[2] Lieb & Loss 2001

[1]

[2]