수학(mathematics) 에서, 변수의 변경 (change of variables )은 원래 변수(variable) 가 다른 변수의 함수(functions) 로 대체되는 것으로 문제를 단순화하기 위해 사용되는 기본 기법입니다. 그 의도는 새로운 변수에서 표현할 때, 문제가 더 간단해질 수 있고, 또는 더 잘 이해된 문제와 동등해질 수 있다는 것입니다.
변수의 변경은 치환(substitution) 과 관련된 연산입니다. 어쨌든, 이들은, 미분화(differentiation) (체인 규칙 ) 또는 적분화(integration) (치환에 의한 적분화 )을 고려할 때 보일 수 있는 것처럼, 다른 연산입니다.
유용한 변수 변경의 매우 간단한 예제는 육차 다항식의 근을 찾는 문제에서 보일 수 있습니다:
x
6
−
9
x
3
+
8
=
0.
{\displaystyle x^{6}-9x^{3}+8=0.\,}
육차 다항식은 제곱근의 관점에서 해결하는 것은 일반적으로 불가능합니다 (아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem) 를 참조하십시오). 어쨌든, 이 특별한 방정식은, 어쨌든, 다음으로 쓸 수 있습니다:
(
x
3
)
2
−
9
(
x
3
)
+
8
=
0
{\displaystyle (x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0}
(이것은 다항식 분해(polynomial decomposition) 의 단순한 경우입니다). 따라서 방정식은 새로운 변수 x 3 = u 를 정의함으로써 단순화될 수 있습니다. x 를
u
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{u}}}
u
2
−
9
u
+
8
=
0
,
{\displaystyle u^{2}-9u+8=0,}
이것은 두 해를 갖는 단지 이차 방정식(quadratic equation) 입니다:
u
=
1
and
u
=
8.
{\displaystyle u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.}
원래 변수의 관점에서 해는 u 에 대한 것에서 다시 x 3 을 치환함으로써 얻어지며, 다음을 제공합니다:
x
3
=
1
and
x
3
=
8.
{\displaystyle x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.}
그런-다음, 우리가 실수(real) 해에 오직 관심을 갖는다고 가정하면, 원래 방정식의 해는 다음입니다:
x
=
(
1
)
1
/
3
=
1
and
x
=
(
8
)
1
/
3
=
2.
{\displaystyle x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.}
Simple example 다음 방정식의 시스템을 생각해 보십시오:
x
y
+
x
+
y
=
71
{\displaystyle xy+x+y=71}
x
2
y
+
x
y
2
=
880
{\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=880}
여기서
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
>
y
{\displaystyle x>y}
AIME )
통상적으로 이것을 해결하는 것은 그리 어렵지 않지만, 그것은 약간 지루할 수 있습니다. 어쨌든, 우리는 두 번째 방정식을
x
y
(
x
+
y
)
=
880
{\displaystyle xy(x+y)=880}
s
=
x
+
y
,
t
=
x
y
{\displaystyle s=x+y,t=xy}
s
+
t
=
71
,
s
t
=
880
{\displaystyle s+t=71,st=880}
x
+
y
=
16
,
x
y
=
55
{\displaystyle x+y=16,xy=55}
(
x
,
y
)
=
(
11
,
5
)
{\displaystyle (x,y)=(11,5)}
x
+
y
=
55
,
x
y
=
16
{\displaystyle x+y=55,xy=16}
(
x
,
y
)
=
(
11
,
5
)
{\displaystyle (x,y)=(11,5)}
Formal introduction
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
매끄러운 매니폴드(smooth manifold) 로 놓고
Φ
:
A
→
B
{\displaystyle \Phi :A\rightarrow B}
C
r
{\displaystyle C^{r}}
미분동형사상(diffeomorphism) 으로 놓으며, 즉,
Φ
{\displaystyle \Phi }
r
{\displaystyle r}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
r
{\displaystyle r}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
전단사(bijective) 맵입니다. 여기서
r
{\displaystyle r}
∞
{\displaystyle \infty }
매끄러운(smooth) ) 또는
ω
{\displaystyle \omega }
해석적(analytic) )일 수 있습니다.
맵
Φ
{\displaystyle \Phi }
정규 좌표 변환 (regular coordinate transformation ) 또는 정규 변수 치환 (regular variable substitution )으로 불리며, 여기서 정규 (regular )는
Φ
{\displaystyle \Phi }
C
r
{\displaystyle C^{r}}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
Φ
{\displaystyle \Phi }
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
=
Φ
(
y
)
{\displaystyle x=\Phi (y)}
Other examples Coordinate transformation 일부 시스템은 극 좌표(polar coordinates) 로 전환할 때 보다 쉽게 해결될 수 있습니다. 예를 들어 다음 방정식을 생각해 보십시오:
U
(
x
,
y
)
:=
(
x
2
+
y
2
)
1
−
x
2
x
2
+
y
2
=
0.
{\displaystyle U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.}
이것은 일부 물리적 문제에 대해 위치 에너지 함수일 수 있습니다. 만약 우리가 해를 즉시 찾지 못하면, 우리는 치환을 시도할 수 있습니다:
(
x
,
y
)
=
Φ
(
r
,
θ
)
{\displaystyle \displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )}
Φ
(
r
,
θ
)
=
(
r
cos
(
θ
)
,
r
sin
(
θ
)
)
{\displaystyle \displaystyle \Phi (r,\theta )=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))}
만약
θ
{\displaystyle \theta }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle [0,2\pi ]}
Φ
{\displaystyle \Phi }
Φ
{\displaystyle \Phi }
(
0
,
∞
]
×
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle (0,\infty ]\times [0,2\pi )}
r
=
0
{\displaystyle r=0}
Φ
{\displaystyle \Phi }
θ
{\displaystyle \theta }
Φ
{\displaystyle \Phi }
표현(expression) 으로 대체하고 항등식
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
V
(
r
,
θ
)
=
r
2
1
−
r
2
cos
2
θ
r
2
=
r
2
1
−
cos
2
θ
=
r
2
|
sin
θ
|
.
{\displaystyle V(r,\theta )=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}}=r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\left|\sin \theta \right|.}
이제 해는 쉽게 구할 수 있습니다:
sin
(
θ
)
=
0
{\displaystyle \sin(\theta )=0}
θ
=
0
{\displaystyle \theta =0}
θ
=
π
{\displaystyle \theta =\pi }
Φ
{\displaystyle \Phi }
x
≠
0
{\displaystyle x\not =0}
y
=
0
{\displaystyle y=0}
y
=
0
{\displaystyle y=0}
우리가
r
=
0
{\displaystyle r=0}
Φ
{\displaystyle \Phi }
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
Differentiation 체인 규칙(chain rule) 은 복잡한 미분화를 단순화하기 위해 사용됩니다. 예를 들어, 다음 미분을 계산하는 것의 문제를 생각해 보십시오:
d
d
x
sin
(
x
2
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}).}
다음을 쓰면:
y
=
sin
u
and
u
=
x
2
{\displaystyle y=\sin u\quad {\text{and}}\quad u=x^{2}}
우리는 다음을 얻습니다:
d
d
x
sin
(
x
2
)
=
d
y
d
x
=
d
y
d
u
d
u
d
x
⏞
This part is the chain rule.
=
(
d
d
u
sin
u
)
(
d
d
x
x
2
)
=
(
cos
u
)
(
2
x
)
=
cos
(
x
2
)
⋅
2
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})=\overbrace {{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\,{\frac {du}{dx}}} ^{\text{This part is the chain rule.}}=\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[8pt]={}&{\big (}\cos u{\big )}(2x)=\cos(x^{2})\cdot 2x.\end{aligned}}}
Integration 어려운 적분은 변수를 변경함으로써 종종 평가될 수 있습니다; 이것은 치환 규칙(substitution rule) 에 의해 활성화되고 위의 체인 규칙의 사용과 아날로그입니다. 어려운 적분은 해당하는 야코비 행렬 및 행렬식(Jacobian matrix and determinant) 에 의해 주어진 변수의 변경을 사용하여 적분을 단순화함으로써 역시 해결될 수 있습니다.[1]
Differential equations 미분화 및 적분화에 대해 변수 변경은 기초 미적분학(calculus) 에서 가르치고 단계는 전부에서 드물게 수행됩니다.
변수 변화의 매우 광범위한 사용은 미분 방정식을 고려할 때 명백하며, 여기서 독립 변수는 체인 규칙(chain rule) 을 사용하여 변경될 수 있거나 종속 변수는 수행되어야 할 일부 미분화의 결과로써 변경됩니다. 점(point) 및 접촉 변환(contact transformation) 에서 종속 및 독립 변수의 혼합과 같은, 이국적인 변화는 매우 복잡하지만 많은 자유도를 허용할 수 있습니다.
매우 자주, 변경에 대해 일반적인 형식은 문제로 치환되고 매개-변수는 문제를 가장 단순화하기 위한 방법에 따라 선택됩니다.
Scaling and shifting 아마도 가장 간단한 변경은 변수의 스케일링 및 이동, 즉, 그들을 상수 양에 의한 "스트레칭" 및 "이동"하는 새로운 변수로 대체하는 것입니다. 이것은 실제 응용 프로그램에서 물리적 매개 변수를 문제로부터 얻기 위해 매우 공통적입니다. n 번째 차수 도함수에 대해, 변경은 다음을 다음을 초래합니다:
d
n
y
d
x
n
=
y
scale
x
scale
n
d
n
y
^
d
x
^
n
{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}={\frac {y_{\text{scale}}}{x_{\text{scale}}^{n}}}{\frac {d^{n}{\hat {y}}}{d{\hat {x}}^{n}}}}
여기서
x
=
x
^
x
scale
+
x
shift
{\displaystyle x={\hat {x}}x_{\text{scale}}+x_{\text{shift}}}
y
=
y
^
y
scale
+
y
shift
.
{\displaystyle y={\hat {y}}y_{\text{scale}}+y_{\text{shift}}.}
이것은 체인 규칙(chain rule) 과 미분화의 선형성을 통해 쉽게 보일 수 있습니다. 이 변경은 실제 응용에서, 예를 들어, 경계-값 문제(boundary value problem) 와 같은, 문제에서 물리적 매개-변수를 얻기 위해 매우 공통적입니다:
μ
d
2
u
d
y
2
=
d
p
d
x
;
u
(
0
)
=
u
(
L
)
=
0
{\displaystyle \mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {dp}{dx}}\quad ;\quad u(0)=u(L)=0}
은 거리 δ만큼 분리된 평평한 고체 벽 사이의 평행 유체 흐름을 설명합니다; μ는 점성(viscosity) 이고
d
p
/
d
x
{\displaystyle dp/dx}
압력 그래디언트(pressure gradient) 이며, 둘 다는 상수입니다. 변수를 스케일링하면 문제는 다음이 됩니다:
d
2
u
^
d
y
^
2
=
1
;
u
^
(
0
)
=
u
^
(
1
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\quad ;\quad {\hat {u}}(0)={\hat {u}}(1)=0}
여기서
y
=
y
^
L
and
u
=
u
^
L
2
μ
d
p
d
x
.
{\displaystyle y={\hat {y}}L\qquad {\text{and}}\qquad u={\hat {u}}{\frac {L^{2}}{\mu }}{\frac {dp}{dx}}.}
스케일링은 많은 이유에 대해 유용합니다. 그것은 매개-변수의 숫자를 줄이고 문제를 깔끔하게 단순히 만듬으로써 둘 다 해석학을 단순화합니다. 적절한 스케일링은 변수를 정규화 할 수 있으며, 즉, 그들을 0에서 1과 같은 현명한 단위없는 범위를 갖도록 만듭니다. 마지막으로, 만약 문제가 숫자 해를 요구하면, 더 적은 매개-변수는 더 적은 계산의 숫자을 가집니다.
Momentum vs. velocity 주어진 함수
H
(
x
,
v
)
{\displaystyle H(x,v)}
m
v
˙
=
−
∂
H
∂
x
m
x
˙
=
∂
H
∂
v
{\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {v}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]m{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial v}}\end{aligned}}}
질량은 (자명한) 치환
Φ
(
p
)
=
1
/
m
⋅
p
{\displaystyle \Phi (p)=1/m\cdot p}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
v
=
Φ
(
p
)
{\displaystyle v=\Phi (p)}
p
˙
=
−
∂
H
∂
x
x
˙
=
∂
H
∂
p
{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {p}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}\end{aligned}}}
Lagrangian mechanics 힘 필드
φ
(
t
,
x
,
v
)
{\displaystyle \varphi (t,x,v)}
뉴턴(Newton) 의 운동의 방정식(equations of motion) 은 다음입니다:
m
x
¨
=
φ
(
t
,
x
,
v
)
.
{\displaystyle m{\ddot {x}}=\varphi (t,x,v).}
라그랑주는 변수
x
=
Ψ
(
t
,
y
)
{\displaystyle x=\Psi (t,y)}
v
=
∂
Ψ
(
t
,
y
)
∂
t
+
∂
Ψ
(
t
,
y
)
∂
y
⋅
w
{\displaystyle v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}}\cdot w}
그는 방정식
∂
L
∂
y
=
d
d
t
∂
L
∂
w
{\displaystyle {\frac {\partial {L}}{\partial y}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {L}}{\partial {w}}}}
이 함수
L
=
T
−
V
{\displaystyle L=T-V}
T 는 운동학적이고, V 는 위치 에너지입니다.
사실, 치환이 (예를 들어 대칭 및 시스템의 구속-조건을 개발하는) 잘 선택될 때 이들 방정식은 데카르트 좌표에서 뉴턴의 방정식보다 풀기가 훨씬 더 쉽습니다.
See also References
^ Kaplan, Wilfred (1973). "Change of Variables in Integrals". Advanced Calculus (Second ed.). Reading: Addison-Wesley. pp. 269–275.
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{u}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3256eaa81dbd56ea482d9ce5163ed7405bd1ca)
![{\displaystyle [0,2\pi ]}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348d40bf3f8b7e1c00c4346440d7e2e4f0cc9b91)
![{\displaystyle (0,\infty ]\times [0,2\pi )}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1418570ad43959fec6dcd6c3e52c9e5b0ccf81ee)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})=\overbrace {{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\,{\frac {du}{dx}}} ^{\text{This part is the chain rule.}}=\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[8pt]={}&{\big (}\cos u{\big )}(2x)=\cos(x^{2})\cdot 2x.\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f8e0d29ef3089e694bf846575c2fbd7dc0a3cd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {v}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]m{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial v}}\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29fa23aa601e60fb5a36d0d81f66fb2a6fe7d7de)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {p}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28c6d53d6f32ac441185f816777dbcdd29d19c2)
