Vector calculus

벡터 미적분학(Vector calculus), 또는 벡터 해석학(vector analysis)은 주로 삼-차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{3}$ 에서 벡터 필드(vector fields)의 미분(differentiation) 및 적분(integration)과 관련됩니다. "벡터 미적분학"이라는 용어는 때때로 벡터 미적분학과 마찬가지로 부분 미분(partial differentiation) 및 다중 적분(multiple integration)에 이르는 다변수 미적분학(multivariable calculus)의 더 넓은 주제의 동의어로 사용됩니다. 벡터 미적분학은 미분 기하학(differential geometry)과 부분 미분 방정식(partial differential equations)의 연구에서 중요한 역할을 합니다. 그것은 특히 전기자기 필드, 중력 필드, 및 유체 흐름의 설명에서 물리학과 공학에서 광범위하게 사용됩니다.

벡터 미적분은 거의 19세기 말 J. Willard Gibbs와 Oliver Heaviside에 의해 쿼터니언 분석에서 개발되었고, 대부분의 표기법과 용어는 Gibbs와 Edwin Bidwell Wilson에 의해 1901년 저서, Vector Analysis에서 확립되었습니다. 교차 곱(cross products)을 사용하는 기존 형식에서, 벡터 미적분은 더 높은 차원으로 일반화되지 않지만, 외부 곱(exterior products)을 사용하는 기하학적 대수(geometric algebra)의 대안적인 접근 방식은 더 높은 차원으로 일반화됩니다 (자세한 내용에 대해 아래 § Generalizations 참조).

Basic objects

Scalar fields

스칼라 필드(scalar field)는 스칼라(scalar) 값을 공간에서 모든 각 점에 결합합니다. 스칼라는 물리적 양(physical quantity)을 나타내는 수학적 숫자(mathematical number)입니다. 응용에서 스칼라 필드의 예제는 공간 전체의 온도 분포, 유체에서 압력 분포, 및 힉스 필드(Higgs field)와 같은 스핀-영 양자 필드 (스칼라 보손으로 알려져 있음)을 포함합니다. 이들 필드는 스칼라 필드 이론(scalar field theory)의 주제입니다.

Vector fields

벡터 필드(vector field)는 공간(space)에서 각 점에 벡터(vector)를 할당한 것입니다.^[1] 예를 들어, 평면에서 벡터 필드는 주어진 크기(magnitude)와 방향이 각각 평면에서 한 점에 부착된 화살표의 모음으로 시각화될 수 있습니다. 예를 들어, 벡터 필드는 종종 공간 전체에서 움직이는 유체의 속력과 방향, 또는 점에서 점으로 변할 때 자기력이나 중력과 같은 일부 힘(force)의 강도와 방향을 모델링하기 위해 사용됩니다. 예를 들어, 이것은 직선을 통해 행한 일(work)을 계산하기 위해 사용될 수 있습니다.

Vectors and pseudovectors

보다 진보된 처리에서, 유사-벡터 필드와 유사-스칼라 필드를 추가로 구별하며, 이는 그것들이 방향-반전하는 맵 아래에서 부호를 변경한다는 점을 제외하면 벡터 필드와 스칼라 필드와 동일합니다: 예를 들어, 벡터 필드의 컬(curl)은 유사-벡터 필드이고, 벡터 필드를 반사하면, 컬은 반대 방향을 가리킵니다. 이 구분은 아래에 설명된 대로 기하학적 대수(geometric algebra)에서 명확하고 정교합니다.

Vector algebra

벡터 미적분에서 대수적 (비-미분) 연산은 벡터 대수학(vector algebra)이라고 하며, 벡터 공간에 대해 정의되고 그런-다음 벡터 필드에 전역적으로 적용됩니다. 기본 대수적 연산은 다음으로 구성됩니다:

Notations in vector calculus
Operation	Notation	Description
벡터 덧셈	$\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$	두 벡터 의 덧셈, 하나의 벡터를 산출합니다.
스칼라 곱셈	$a\mathbf {v}$	하나의 벡터와 하나의 스칼라의 곱셈, 하나의 벡터를 산출합니다.
점 곱	$\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$	두 벡터의 곱셈, 하나의 스칼라를 산출합니다.
교차 곱	$\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$	$\mathbb {R} ^{3}$ 에서 두 벡터의 곱셈, 하나의 벡터를 산출합니다.

역시 공통적으로 사용되는 두 개의 세-쌍 곱(triple products):

Vector calculus triple products
Operation	Notation	Description
스칼라 세-쌍 곱	$\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	두 벡터의 교차 곱의 점 곱.
벡터 세-쌍 곱	$\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	두 벡터의 교차 곱의 교차 곱.

Operators and theorems

Differential operators

벡터 미적분은 전형적으로 "nabla"라고도 알려져 있는 델(del) 연산자 ( $\nabla$ )로 표현되는 스칼라 또는 벡터 필드 위에 정의된 다양한 미분 연산자(differential operators)를 연구합니다. 세 가지 기본 벡터 연산자(vector operators)는 다음과 같습니다:^[2]

Differential operators in vector calculus
Operation	Notation	Description	Notational analogy	Domain/Range
Gradient	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	Measures the rate and direction of change in a scalar field.	Scalar multiplication	Maps scalar fields to vector fields.
Divergence	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	Measures the scalar of a source or sink at a given point in a vector field.	Dot product	Maps vector fields to scalar fields.
Curl	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	Measures the tendency to rotate about a point in a vector field in $\mathbb {R} ^{3}$ .	Cross product	Maps vector fields to (pseudo)vector fields.
$f$ denotes a scalar field and $F$ denotes a vector field

역시 공통적으로 사용되는 두 개의 라플라스 연산자는 다음과 같습니다:

Laplace operators in vector calculus
Operation	Notation	Description	Domain/Range
Laplacian	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Measures the difference between the value of the scalar field with its average on infinitesimal balls.	Maps between scalar fields.
Vector Laplacian	$\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	Measures the difference between the value of the vector field with its average on infinitesimal balls.	Maps between vector fields.
$f$ denotes a scalar field and $F$ denotes a vector field

야코비 행렬(Jacobian matrix)이라고 불리는 양은 적분 동안 변수의 변경(change of variables)과 같이 함수의 도메인과 치역이 모두 다변수일 때 함수를 연구하는 데 유용합니다.

Integral theorems

세 가지 기본 벡터 연산자는 미적분의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)를 더 높은 차원으로 일반화하는 해당 정리를 가집니다:

Integral theorems of vector calculus
Theorem	Statement	Description
Gradient theorem	$\int _{L\subset \mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} \ =\ \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\ \ {\text{ for }}\ \ L=L[p\to q]$	The line integral of the gradient of a scalar field over a curve L is equal to the change in the scalar field between the endpoints p and q of the curve.
Divergence theorem	$\underbrace {\int \!\cdots \!\int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}}} _{n}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\ =\ \underbrace {\oint \!\cdots \!\oint _{\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$	The integral of the divergence of a vector field over an $n$ -dimensional solid V is equal to the flux of the vector field through the $(n -1)$ -dimensional closed boundary surface of the solid.
Curl (Kelvin–Stokes) theorem	$\iint _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } \ =\ \oint _{\!\!\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	The integral of the curl of a vector field over a surface Σ in $\mathbb {R} ^{3}$ is equal to the circulation of the vector field around the closed curve bounding the surface.
$\varphi$ denotes a scalar field and $F$ denotes a vector field

이 차원에서, 다이버전스와 컬 정리는 그린의 정리로 줄어듭니다:

Green's theorem of vector calculus
Theorem	Statement	Description
Green's theorem	$\iint _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA\ =\ \oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	The integral of the divergence (or curl) of a vector field over some region A in $\mathbb {R} ^{2}$ equals the flux (or circulation) of the vector field over the closed curve bounding the region.
For divergence, $F = (M, - L)$ . For curl, $F = (L, M, 0)$ . $L$ and $M$ are functions of $(x, y)$ .

Applications

Linear approximations

선형 근사는 복소 함수를 거의 같은 선형 함수로 대체하기 위해 사용됩니다. 실수 값을 갖는 미분-가능 함수 $f (x, y)$ 가 주어지면, 다음 표현에 의해 $(a, b)$ 에 가까운 $(x, y)$ 에 대한 $f (x, y)$ 를 근사화할 수 있습니다:

f(x,y)\ \approx \ f(a,b)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,(x-a)+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,(y-b).

오른쪽 변은 $(a, b)$ 에서 $z = f (x, y)$ 의 그래프에 접하는 평면의 방정식입니다.

Optimization

연속적으로 미분-가능한 여러 실수 변수의 함수에 대해, 함수의 모든 부분 도함수(partial derivatives)가 P에서 영이면, 또는, 동등하게, 그것의 그래디언트(gradient)가 영이면, 점 P (즉, Rⁿ에서 점으로 표시되는 입력 변수에 대한 값의 집합)는 임계적(critical)입니다. 임계 값은 임계 점에서 함수의 값입니다.

만약 함수가 매끄러운 것, 또는, 적어도 두 번 연속적으로 미분-가능이면, 임계 점은 지역적 최댓값(local maximum), 지역적 최솟값(local minimum), 또는 안장 점(saddle point)일 수 있습니다. 이차 도함수의 헤세 행렬(Hessian matrix)의 고윳값(eigenvalues)을 고려함으로써 다른 경우를 구별할 수 있습니다.

페르마의 정리(Fermat's theorem)에 의해, 미분-가능 함수의 모든 지역적 최댓값과 최솟값은 임계 점에서 발생합니다. 그러므로, 지역적 최댓값과 최솟값을 찾기 위해, 이론적으로, 그래디언트의 영과 이들 영들에서 헤세 행렬의 고윳값을 계산하는 것으로 충분합니다.

Physics and engineering

벡터 미적분학은 다음과 같은 연구에 특히 유용합니다:

Generalizations

벡터 미적분학은 다른 3-매니폴드(3-manifolds) 및 더 높은 차원 공간으로 일반화될 수도 있습니다.

Different 3-manifolds

벡터 미적분은 처음에 유클리드 3-공간, $\mathbb {R} ^{3}$ 에 대해 정의되었으며, 이는 단순히 3-차원 실수 벡터 공간 이상의 추가 구조, 즉 안의 곱 (점 곱)을 통해 정의된 노름(norm, 길이의 개념 제공)을 가지며, 이는 차례로 각도의 개념과, 왼손과 오른손의 개념을 제공하는 방향을 제공합니다. 이들 구조는 부피 형식(volume form)과 벡터 미적분학에서 광범위하게 사용되는 교차 곱(cross product)을 발생시킵니다.

그래디언트와 다이버전스는 안의 곱(inner product)만 필요로 하고, 반면에 컬과 교차 곱은 고려되는 좌표 시스템의 손모양도 필요로 합니다 (자세한 내용에 대해 교차 곱과 손모양을 참조).

벡터 미적분학은 안의 곱 (또는 보다 일반적으로 대칭적 비-퇴화 형식)과 방향을 가지면 다른 3-차원 실수 벡터 공간 위에 정의될 수 있습니다: 벡터 미적분학이 회전 (특수 직교 그룹 SO(3)) 아래에서 불변이라는 사실을 반영하는 좌표의 집합 (참조의 프레임)을 요구하지 않기 때문에 이것은 유클리드 공간에 대한 동형보다 데이터가 적다는 것을 주목하십시오.

보다 일반적으로, 벡터 미적분학은 임의의 3-차원 방향화된 리만 매니폴드, 또는 더 일반적으로 유사-리만 매니폴드 위에 정의될 수 있습니다. 이 구조는 단순히 각 점에서 접 공간(tangent space)이 안의 곱 (보다 일반적으로 대칭적 비-퇴화 형식)과 방향을 가진다, 또는 보다 전역적으로 대칭적 비-퇴화 메트릭 텐서와 방향이 있다는 것을 의미하고, 벡터 미적분학이 각 점에서 접 벡터의 관점에서 정의되기 때문에 작동합니다.

Other dimensions

대부분의 해석적 결과는 벡터 미적분학이 부분집합을 형성하는 미분 기하학(differential geometry)의 기계를 사용하여 보다 일반적인 형식에서 쉽게 이해될 수 있습니다. 그래디언트 정리, 다이버전스 정리, 및 라플라스 (조화 해석을 산출)과 마찬가지로 그래디언트와 다이버전스는 즉시 다른 차원으로 일반화되지만, 컬과 교차 곱은 직접 일반화되지 않습니다.

일반적인 관점에서, (3-차원) 벡터 미적분학에서 다양한 필드는 균일하게 k-벡터 필드로 고려됩니다: 스칼라 필드는 0-벡터 필드, 벡터 필드는 1-벡터 필드, 유사-벡터 필드는 2-벡터 필드, 및 유사-스칼라 필드는 3-벡터 필드입니다. 더 높은 차원에서, 추가적인 유형의 필드 (0/1/n−1/n 차원에 해당하는 스칼라/벡터/유사벡터/유사스칼라, 이는 차원 3에서 포괄적임)가 있으므로, (유사)스칼라와 (유사) 벡터로만 작업할 수는 없습니다.

임의의 차원에서, 비-퇴화 형식을 가정하여, 스칼라 함수의 그래디언트는 벡터 필드이고, 벡터 필드의 다이버전스는 스칼라 함수이지만, 차원 3 또는 7 (및, 자명한 차원 0 또는 1)에서만 벡터 필드의 컬, 및 3차원 또는 7차원에서만 교차 곱을 정의할 수 있습니다^[3] (다른 차원에서 일반화는 1 벡터를 산출하기 위해 $n-1$ 벡터를 필요로 하거나, 더 일반적인 반대칭적 쌍선형 곱인 대안적인 리 대수를 필요로 합니다). 그래디언트와 다이버전스의 일반화와 컬이 일반화되는 방법은 Curl: Generalizations에서 자세히 설명됩니다; 간단히 말해서, 벡터 필드의 컬은 무한소 회전의 특수 직교 리 대수로 해석될 수 있는 이중벡터(bivector) 필드입니다; 어쨌든, 이것은 차원이 다르기 때문에 벡터 필드로 식별될 수 없습니다 – 3차원에서 회전의 3 차원이 있지만, 4차원에서 회전의 6 차원이 있습니다 (그리고 보다 일반적으로 n 차원에서 회전의 $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$ 차원이 있습니다).

벡터 미적분학에는 두 가지 중요한 대안적인 일반화가 있습니다. 첫 번째, 기하학적 대수(geometric algebra)는 벡터 필드 대신 k-벡터 필드를 사용합니다 (3차원보다 적은 차원에서, 모든 각 k-벡터 필드는 스칼라 함수 또는 벡터 필드로 식별될 수 있지만, 이것은 고차원에서는 참이 아닙니다). 이것은 2개의 벡터 필드를 취하고 출력으로 벡터 필드를 제공하는 3 차원에 특정한 교차 곱을 모든 차원에 존재하고 두 벡터 필드를 취하고 출력으로 이중벡터 (2-벡터)를 제공하는 외부 곱(exterior product)으로 대체합니다. 이 곱은 (방향과 비-퇴화 형식을 갖는) 벡터 공간의 대수적 구조로 클리퍼드 대수(Clifford algebras)를 산출합니다. 기하학적 대수학은 주로 물리학과 기타 응용 분야를 더 높은 차원으로 일반화하는 데 사용됩니다.

두 번째 일반화는 벡터 필드 또는 k-벡터 필드 대신 미분 형식 (k-코벡터 필드)을 사용하고, 수학, 특히 미분 기하학, 기하학적 토폴로지, 및 특히 방향화된 유사-리만 매니폴드 위에 호지 이론(Hodge theory)을 산출하는 조화 해석에서 널리 사용됩니다. 이러한 관점에서 보면, 그래디언트, 컬, 및 다이버전스는 각각 0-형식, 1-형식, 및 2-형식의 외부 도함수(exterior derivative)에 해당하고, 벡터 미적분의 핵심 정리는 모두 스토크스의 정리(Stokes' theorem)의 일반적인 형식의 특수한 경우입니다.

이러한 일반화의 관점 둘 다에서 볼 때, 벡터 미적분학은 수학적으로 구별되는 대상을 암묵적으로 식별하며, 이는 프레젠테이션을 더 단순하게 만들지만 놓여있는 수학적 구조와 일반화를 덜 명확하게 만듭니다. 기하학적 대수학의 관점에서, 벡터 미적분학은 벡터 필드 또는 스칼라 함수를 갖는 k-벡터 필드: 스칼라를 갖는 0-벡터 및 3-벡터, 벡터를 갖는 1-벡터 및 2-벡터를 암묵적으로 식별합니다. 미분 형식의 관점에서, 벡터 미적분학은 스칼라 필드 또는 벡터 필드를 갖는 k-형식: 스칼라 필드를 갖는 0-형식 및 3-형식, 벡터 필드를 갖는 1-형식 및 2-형식을 암묵적으로 식별합니다. 따라서, 예를 들어 컬은 자연적으로 벡터 필드 또는 1-형식을 입력으로 사용하지만, 자연스럽게 출력으로 2-벡터 필드 또는 2-형식 (따라서 유사-벡터 필드)을 가지며, 이는 직접적으로 벡터 필드에서 벡터 필드로 가져오는 것이 아니라 벡터 필드로 해석됩니다; 이것은 벡터 필드를 출력으로 가지지 않는 고차원에서 벡터 필드의 컬에서 반영됩니다.

References

Citations

^ Galbis, Antonio; Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. p. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.
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^ Lizhong Peng & Lei Yang (1999) "The curl in seven dimensional space and its applications", Approximation Theory and Its Applications 15(3): 66 to 80 doi:10.1007/BF02837124

Sources

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Crowe, Michael J. (1967). A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System (reprint ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-67910-5.
Marsden, J. E. (1976). Vector Calculus. W. H. Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1.
Schey, H. M. (2005). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-92516-6.
Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.

External links

The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 2: Differential Calculus of Vector Fields
"Vector analysis", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
"Vector algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
A survey of the improper use of ∇ in vector analysis (1994) Tai, Chen-To
Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.

[Galbis-2012-p12-1] Galbis, Antonio; Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. p. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.

[2] "Differential Operators". Math24. Retrieved 2020-09-17.

[3] Lizhong Peng & Lei Yang (1999) "The curl in seven dimensional space and its applications", Approximation Theory and Its Applications 15(3): 66 to 80 doi:10.1007/BF02837124

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