Riemann integral

Original article: w:Riemann integral

The integral as the area of a region under a curve.

A sequence of Riemann sums over a regular partition of an interval. The number on top is the total area of the rectangles, which converges to the integral of the function.

The partition does not need to be regular, as shown here. The approximation works as long as the width of each subdivision tends to zero.

실 해석학(real analysis)으로 알려진 수학(mathematics)의 가지에서, 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)에 의해 만들어진 리만 적분(Riemann integral)은 구간(interval) 위에 함수(function)의 적분(integral)의 첫 번째 엄격한 정의였습니다. 그것은 1854년 괴팅겐 대학교(University of Göttingen)의 학부에 제출되었지만, 1868년까지 저널에 발표되지 않았습니다. 많은 함수와 실용적인 응용에 대해, 리만 적분은 미적분의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)에 의해 평가되거나 수치적 적분화(numerical integration)에 의해 근사될 수 있습니다.

리만 적분은 많은 이론적인 목적에 부적합합니다. 리만 적분화에서 기술적 결함 중 일부는 리만–스틸티어스 적분(Riemann–Stieltjes integral)으로 해결될 수 있고, 비록 부적절한 적분의 만족스러운 처리를 가지지는 못할지라도, 대부분 르베그 적분(Lebesgue integral)으로 사라집니다. 게이지 적분(gauge integral)은 한 번에 리만 적분에 더 가까워지는 르베그 적분의 일반화입니다. 이들 보다 일반적인 이론은 그의 리만 적분이 존재하지 않는 더 "들쭉날쭉한" 또는 "높게 진동하는" 함수의 적분을 허용합니다; 그러나 이론은 그것이 존재할 때 리만 적분과 같은 값을 제공합니다.

Overview

f를 구간 [a, b] 위에 비-음의 실수-값 함수로 놓고, 다음

$S=\left\{(x,y)\,:\ a\leq x\leq b,0<y<f(x)\right\}$

를 구간 [a, b] 위의 및 함수 f의 그래프 아래에서 평면의 영역으로 놓습니다 (맨 위의 오른쪽의 그림을 참조하십시오). 우리는 S의 넓이를 측정하는데 관심이 있습니다. 한번 우리가 그것을 측정하면, 우리는 그 넓이를 다음에 의해 나타낼 것입니다:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

리만 적분의 기본 아이디어는 S의 넓이에 대해 매우 간단한 근사를 사용하는 것입니다. 점점 더 좋은 근사를 취함으로써, 우리는 "극한에서" 우리가 곡선 아래 S의 넓이를 정확하게 얻음을 말할 수 있습니다.

여기서 f가 양수 및 음수 둘 다일 수 있음을 주목하십시오, S의 정의는 적분이 f의 그래프 아래 부호화된 넓이: 즉, x-축 위의 넓이 빼기 x-축 아래의 넓이에 해당하도록 수정됩니다.

Definition

Partitions of an interval

구간 [a, b]의 분할은 다음 형식의 숫자의 유한 수열입니다:

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b$

각 [x_i, x_{i + 1}]은 분할의 부분-구간(sub-interval)으로 불립니다. 분할의 그물(mesh) 또는 노름(norm)은 가강 긴 부분-구간의 길이로 정의됩니다. 즉,

$\max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1].$

구간 [a, b]의 태그화 분할(tagged partition) P(x, t)은 각 i, t_i ∈ [x_i, x_{i + 1}]에 대해 조건에 종속되는 숫자 t₀, ..., t_{n − 1}의 유한 수열과 함께 분할입니다. 달리 말해서, 그것은 모든 각 부분-구간의 구별되는 점과 함께 분할입니다. 태그화 분할의 메시는 보통의 분할의 메시의 그것과 동일합니다.

두 분할 P(x, t)와 Q(y, s)가 둘 다 구간 [a, b]의 분할이라고 가정합니다. 우리는, Q(y, s)가, 만약 각 정수 i에 대해, i ∈ [0, n]를 함께, x_i = y_r(i)를 만족하는 및 j ∈ [r(i), r(i + 1))을 갖는 어떤 j에 대해 t_i = s_j를 만족하는 정수 r(i)가 존재하면, P(x, t)의 세분(refinement)임을 말합니다. 보다 간단히 말하자면, 태그화 분할의 세분은 부분-구간의 일부를 갈라놓고 필요한 곳에 분할에 대한 태그를 더하며, 따라서 그것은 분할의 정확성을 "세분합니다".

우리는, 하나의 태그화 분할이 다른 것보다, 만약 전자가 후자의 세분이면, 크거나 또는 같다고 말함으로써 모든 태그화 분할의 집합 위에 부분 순서(partial order)를 정의할 수 있습니다.

Riemann sums

f를 구간 [a, b] 위에 정의된 실수-값 함수로 놓습니다. t₀, ..., t_{n − 1}을 갖는 태그화 분할 x₀, ..., x_n에 관한 f의 리만 합(Riemann sum)은 다음입니다:

$\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right).$

합에서 각 항은 주어진 점에서 함수의 값과 구간의 길이의 곱입니다. 결론적으로, 각 항은 높이 f(t_i)와 너비 x_{i + 1} − x_i를 갖는 직사각형의 (부호화된) 넓이를 나타냅니다. 리만 합은 모든 직사각형의 (부호화된) 넓이입니다.

밀접하게 관련된 개념은 낮은 및 높은 다르부 합(lower and upper Darboux sums)입니다. 이들은 리만 합과 유사하지만, 태그는 각 부분-구간 위에 f의 (각각) 하한 및 상한(infimum and supremum)에 의해 대체됩니다.

${\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{aligned}}$

만약 f가 연속이면, 비-태그화 분할에 대해 낮은 및 높은 다르부 합은 해당 분할에 대해 리만 합과 같고, 여기서 태그는 각 부분-구간 위에 f의 (각각) 최소 또는 최대인 것으로 선택됩니다. (f가 부분-구간 위에 불연속일 때, 그곳에 해당 구간 위에 하한 또는 상한에 도달하는 태그가 아닐 수 있습니다.) 리만 적분과 유사하지만 다르부 합에 기초한, 다르부 적분(Darboux integral)은 리만 적분과 동등합니다.

Riemann integral

느슨하게 말하자면, 리만 적분은 분할이 더 미세해질 때 함수의 리만 합의 극한입니다. 만약 극한이 존재하면, 그 함수는 적분-가능(integrable) (또는 보다 구체적으로 리만-적분가능(Riemann-integrable))이라고 말합니다. 리만 합은 분할을 충분히 미세하게 만듦으로써 리만 적분에 원하는 만큼 가깝게 만들 수 있습니다.

하나의 중요한 요구-사항은 분할의 그물은, 극한에서, 그것이 영이 되도록, 반드시 점점 더 작아지게 됩니다. 만약 이것은 그렇게 되지 않으면, 우리는 특정 부분-구간 위의 함수에 대한 좋은 근사를 얻지 못할 것입니다. 사실, 이것은 적분을 정의하기 위해 충분합니다. 구체적으로, 우리는 f의 리만 적분은 만약 다음 조건이 유지되면 s와 같다고 말합니다:

모든 ε > 0에 대해, 임의의 태그화 분할 x₀, ..., x_n 및 t₀, ..., t_{n − 1}에 대해 그의 그물이 δ 보다 작은 것을 만족하는 δ > 0가 존재하며, 우리는 다음을 가집니다:

$\left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-s\right|<\varepsilon .$

불행하게도, 이 정의는 사용하는 것이 매우 어렵습니다. 그것과 함께 작동이 더 쉬운 리만 적분과 동등한 정의를 개발하는 것이 도움이 될 것입니다. 우리는, 다음 동등성의 증명과 함께, 지금 이 정의를 개발합니다. 우리의 새로운 정의는 f의 리만 적분이, 만약 다음 조건이 유지되면, s와 같다고 말합니다:

모든 ε > 0에 대해, 임의의 태그화 분할 x₀, ..., x_n 및 t₀, ..., t_{n − 1}에 대해 이것이 y₀, ..., y_m 및 r₀, ..., r_{m − 1}의 세분임을 만족하는 태그화 분할 y₀, ..., y_m와 r₀, ..., r_{m − 1}가 존재하며, 우리는 다음을 가집니다:

$\left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-s\right|<\varepsilon .$

이것들 둘 다는 결국, 임의의 분할에 관한 f의 리만 합은 s에 가깝게 갇히게 되는 것을 의미합니다. 우리가 합을 얼마나 가깝게 갇히게 하려는지에 관계없이 이것이 참이므로, 우리는 리만 합이 s에 수렴한다고 말합니다. 이들 정의는 실제로 보다 일반적인 개념, 네트(net)의 특별한 경우입니다.

우리는 이전에 언급했듯이, 이들 두 정의는 동등합니다. 다시 말해서, s가 첫 번째 정의에서 작동하는 것과 s가 두 번째 정의에서 작동하는 것은 필요충분 조건입니다. 첫 번째 정의가 두 번째를 의미하는 것을 보여주기 위해, ε으로 시작하고, 조건을 만족하는 δ를 선택합니다. 그의 그물이 δ보다 작은 태그화 분할을 선택합니다. 그것의 리만 합은 s의 ε 이내에 있고, 이 분할의 임의의 세분은 δ보다 작은 그물을 역시 가질 것이므로, 세분의 리만 합은 s의 ε 이내에 역시 있을 것입니다.

두 번째 정의가 첫 번째를 의미하는 것을 보여주기 위해, 그것은 다르부 적분(Darboux integral)을 사용하는 것이 가장 쉽습니다. 먼저, 우리는 두 번째 정의가 다르부 적분의 정의와 동등하다는 것을 보입니다; 이것에 대해 다르부 적분화에 대한 기사를 참조하십시오. 이제 우리는 다르부 적분-가능 함수가 첫 번째 정의를 만족시키는 것을 보일 것입니다. ε을 고정하고, 이 분할의 관점에서 낮은 및 높은 다르부 합은 다르부 적분의 값 s의 ε/2 이내에 있는 것을 만족하는 분할 y₀, ..., y_m을 선택합니다. 다음을 놓습니다:

$r=2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|.$

만약 r = 0이면, f는 영 함수이며, 이것은 적분 영을 갖는 분명히 둘 다 다르부 및 리만 적분-가능입니다. 그러므로, 우리는 r > 0인 것을 가정할 것입니다. 만약 m > 1이면, 우리는 다음을 만족하는 δ를 선택합니다:

$\delta <\min \left\{{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},\left(y_{1}-y_{0}\right),\left(y_{2}-y_{1}\right),\cdots ,\left(y_{m}-y_{m-1}\right)\right\}$

만약 m = 1이면, 우리는 일보다 작은 δ를 선택합니다. δ 보다 작은 그물를 갖는 태그화 분할 x₀, ..., x_n 및 t₀, ..., t_{n − 1}를 선택합니다. 우리는 리만 합은 s의 ε 이내에 있는 것을 반드시 보입니다.

이것을 보이기 위해, 구간 [x_i, x_{i + 1}]을 선택합니다. 만약 이 구간이 어떤 [y_j, y_{j + 1}] 이내에 포함되면, 다음입니다:

$m_{j}<f(t_{i})<M_{j}$

여기서 m_j와 M_j는, 각각, [y_j, y_{j + 1}] 위의 하한과 상한입니다. 만약 모든 구간은 이 속성을 가졌다면, 이것은 증명을 끝낼 것인데, 왜냐하면 리만 합에서 각 항은 다르부 합에서 대응하는 항에 의해 경계질 것이고, 우리는 s에 가깝게 되는 다르부 합을 선택합니다. 이것은 m = 1일 때 경우이므로, 증명은 해당 경우에서 끝납니다.

그러므로, 우리는 m > 1인 것을 가정할 것입니다. 이 경우에서, [x_i, x_{i + 1}] 중의 하나가 임의의 [y_j, y_{j + 1}] 안에 포함되지 않을 가능성이 있습니다. 대신에, 그것은 y₀, ..., y_m에 의해 결정되는 구간의 두 개를 가로-질러 늘어날 것입니다. (그것은 절대 세 구간에서 만나지 않는데 왜냐하면 δ는 임의의 한 구간의 길이보다 더 작은 것으로 가정되기 때문입니다.) 기호에서, 그것은 다음인 것이 발생힐 것입니다:

$y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}.$

(우리는 모든 부등식이 엄격한 것으로 가정할 수 있는데 왜냐하면 그렇지 않으면 우리는 δ의 길이에 대한 우리의 가정에 의해 이전 경우에 있기 때문입니다.) 이것은 많아야 m − 1번 발생할 수 있습니다.

이 경우를 처리하기 위해, 우리는 y_{j + 1}에서 분할 x₀, ..., x_n을 부분-나눔으로써 리만 합과 다르부 합 사이의 차이를 추정할 것입니다. 리만 합에서 항 f(t_i)(x_{i + 1} − x_i)은 두 항으로 나뉩니다:

$f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right).$

보편성의 손실없이, t_i ∈ [y_j, y_{j + 1}]임을 가정합니다. 그런-다음

$m_{j}<f(t_{i})<M_{j},$

그래서 이 항은 y_j에 대해 다르부 합에서 대응하는 항에 의해 경계집니다. 다른 항을 경계짓기 위해, 다음임을 주목하십시오:

$x_{i+1}-y_{j+1}<\delta <{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},$

그것은, 어떤 (사실 임의의) t^*
_i ∈ [y_{j + 1}, x_{i + 1}]에 대해, 다음임을 따릅니다:

$\left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i}^{*}\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)<{\frac {\varepsilon }{2(m-1)}}.$

이것은 많아야 m − 1번 발생하므로, 리만 합과 다르부 합 사이의 거리는 많아야 ε/2입니다. 그러므로, 리만 합과 s 사이의 거리는 많아야 ε입니다.

Examples

$f:[0,1]\to \mathbb {R}$를 모든 각 점에서 값 1을 취하는 함수로 놓습니다. [0, 1]에 대한 f의 임의의 리만 합은 값 1을 가질 것이므로, 따라서 [0, 1] 위에 f의 리만 적분은 1입니다.

$I_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \mathbb {R}$를 [0, 1] 안의 유리수의 지시 함수(indicator function)로 놓습니다; 즉, $I_{\mathbb {Q} }$는 유리수에 대한 1, 무리수에 대한 0을 취합니다. 이 함수는 리만 적분을 가지지 않습니다. 이것을 입증하기 위해, 우리는 그의 리만 합이 0과 1 둘 다에 임의로 가까워지는 태그화 분할을 구성하는 방법을 보여줄 것입니다.

시작하기 위해, x₀, ..., x_n 및 t₀, ..., t_{n − 1}을 태그화 분할로 놓습니다 (각 t_i는 x_i와 x_{i + 1} 사이에 있습니다). ε > 0을 선택합니다. t_i는 이미 선택되어 왔고, 우리는 그들 점에서 f의 값을 변경할 수 없습니다. 그러나 만약 우리가 분할을 각 t_i 주변의 작은 조각으로 잘르면, 우리는 t_i의 효과를 최소화할 수 있습니다. 그런-다음, 새로운 태그를 신중하게 선택함으로써, 우리는 리만 합의 값을 0 또는 1의 ε 이내에 있는 것으로 밝혀지는 것을 만들 수 있습니다.

우리의 첫 번째 단계는 분할을 잘라내는 것입니다. t_i의 n이 있고, 우리는 그들의 총 효과가 ε보다 작아지기를 원합니다. 만약 우리가 그들의 각각을 ε/n보다 작은 길이의 구간으로 한정한다면, 리만 합에 대해 각 t_i의 기여는 적어도 0 · ε/n 및 많아야 1 · ε/n일 것입니다. 이것은 전체 합을 적어도 영 및 많아야 ε으로 만듭니다. 그래서 δ를 ε/n보다 작은 양수라고 놓습니다. 만약 그것이 t_i의 두 개가 서로의 δ 이내에 있는 것으로 발생하면, 더 작은 δ를 선택합니다. 만약 그것은 어떤 t_i가 어떤 x_j의 δ 이내에 있고, t_i가 x_j와 같지 않은 것으로 발생하면, 더 작은 δ를 선택합니다. 단지 유한하게 많은 t_i와 x_j가 있으므로, 우리는 항상 충분히 작은 δ를 선택할 수 있습니다.

이제 우리는 각 t_i에 대해 두 개의 절단을 분할에 더합니다. 절단 중 하나는 t_i − δ/2에 있을 것이고, 다른 것은 t_i + δ/2에 있을 것입니다. 만약 이들 중 하나가 구간 [0, 1]을 벗어나면, 우리는 그것을 버립니다. t_i는 부분-구간에 해당하는 태그가 될 것입니다.

$\left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].$

만약 t_i가 x_j 중 하나의 꼭대기에 직접 있으면, 우리는 t_i를 둘 다 구간에 대해 태그로 놓습니다:

$\left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},x_{j}\right],\quad {\text{and}}\quad \left[x_{j},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].$

우리는 여전히 다른 부분-구간에 대해 태그를 선택해야 합니다. 우리는 두 가지 방법으로 그들을 선택할 것입니다. 첫 번째 방법은, 리만 합이 가능한 한 크게 되도록, 항상 유리 점(rational point)을 선택하는 것입니다. 이것은 리만 합의 값을 적어도 1 − ε로 만들 것입니다. 두 번째 방법은, 리만 합이 가능한 한 작게 되도록, 항상 무리수 점을 선택하는 것입니다. 이것은 리만 합의 값을 많아야 ε으로 만들 것입니다.

우리가 임의의 파티션에서 시작했고 영 또는 일로 원하는 만큼 가까워지게 끝냈으므로, 우리는 결과적으로 어떤 숫자 s 근처에 갇히게 된다고 말하는 것은 거짓이므로, 이 함수는 리만 적분-가능이 아닙니다. 어쨌든, 그것은 르베그 적분-가능(Lebesgue integrable)입니다. 르베그 의미에서 그것의 적분은 영인데, 왜냐하면 함수는 거의 모든 곳에서 0이기 때문입니다. 그러나 이것이 리만 적분의 범위를 넘어선다는 것은 사실입니다.

심지어 더 나쁜 예제가 있습니다. $I_{\mathbb {Q} }$는 리만 적분-가능 함수와 동등하지만 (즉, 거의 모든 곳에서 같습니다), 임의의 리만 적분-가능 함수와 동등하지 않은 비-리만 적분-가능 경계진 함수가 있습니다. 예를 들어, C를 스미스–볼테라–칸토어 집합(Smith–Volterra–Cantor set)으로 놓고, I_C를 그의 지시 함수로 놓습니다. C는 조르당 측정-가능(Jordan measurable)이 아니기 때문에, I_C는 리만 적분-가능이 아닙니다. 게다가, I_C와 동등한 함수 g는 리만 적분-가능이 아닙니다: I_C와 같은, g는 조밀한 집합 위에 반드시 영일 것이므로, 앞의 예제에서 처럼, g의 임의의 리만 합은, 임의의 양수 ε에 대해 0의 ε 이내에 있는, 세분을 가집니다. 그러나 만약 g의 리만 적분이 존재하면, 그것은 I_C의 르베그 적분, 1/2과 반드시 같습니다. 그러므로, g는 리만 적분-가능이 아닙니다.

Similar concepts

리만 적분을 다르부 적분(Darboux integral)으로 정의하는 것이 인기 있습니다. 이것은 다르부 적분이 기술적으로 더 간단하기 때문이고 함수가 리만-적분가능인 것과 그것이 다르부-적분가능인 것은 필요충분 조건이기 때문입니다.

일부 미적분학 책은 일반적인 태그화 분할을 사용하지 않지만, 태그화 분할의 특정 유형에 대해 그들 자신을 제한됩니다. 만약 분할의 유형이 너무 많이 제한되면, 일부 비-적분가능 함수가 적분-가능인 것처럼 보일 수 있습니다.

한 가지 인기 있는 제한은 "왼-편" 및 "오른-편" 리만 합의 사용입니다. 왼-편 리만 합에서, 모든 i에 대해 t_i = x_i이고, 오른-편 리만 합에서, 모든 i에 대해 t_i = x_{i + 1}입니다. 단독으로 이런 제한은 문제를 강요하지 않습니다: 우리는 각 t_i에서 그것을 부분-나눔으로써 그것을 왼-편 또는 오른-편 합으로 만드는 방법에서 임의의 분할을 세분할 수 있습니다. 보다 형식적인 언어에서, 모든 왼-편 리만 합의 집합과 모든 오른-편 리만 합의 집합은 모든 태그화 분할의 집합에서 공끝(cofinal)입니다.

또-다른 인기-있는 제한은 구간의 규칙적인 부분-나눔의 사용입니다. 예를 들어, [0, 1]의 n번째 규칙적인 부분-나눔은 다음 구간으로 구성됩니다:

$\left[0,{\frac {1}{n}}\right],\left[{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}}\right],\ldots ,\left[{\frac {n-1}{n}},1\right].$

다시, 단독으로 이 제한은 문제를 강요하지 않지만, 이 사실을 이해하기 위한 필요한 추론은 왼-편 및 오른-편 리만 합의 경우보다 더 어렵습니다.

어쨌든, 우리가 규칙적으로 분리된 구간 위에 오직 왼-편 또는 오른-편 리만 합을 사용하도록, 이들 제한을 조합하는 것은 위험합니다. 만약 함수가 미리 리만 적분-가능인 것으로 알려져 있으면, 이 기법은 적분의 정확한 값을 제공할 것입니다. 그러나 이들 조건 아래에서 지시 함수(indicator function) $I_{\mathbb {Q} }$는 일과 같은 적분과 함께 [0, 1]에 대한 적분-가능인 것으로 보일 것입니다: 모든 각 부분-구간의 모든 각 끝점은 유리수일 것이므로, 함수는 항상 유리수에서 평가될 것이고, 따라서 그것은 항상 1과 같게 보일 것입니다. 이 정의와 함께 문제는, 우리가 적분을 두 조각으로 나누려고 시도할 때, 명백하게 됩니다. 다음 방정식이 유지되어야 합니다:

$\int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx+\int _{{\sqrt {2}}-1}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx=\int _{0}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx.$

만약 우리가 규칙적인 부분-나눔 및 왼-편 또는 오른-편 리만 합을 사용하면, 왼쪽에 대한 두 항은 1과 같은데, 왜냐하면 0과 1을 제외한 모든 각 끝점은 무리수일 것이기 때문이지만, 우리가 보아온 것처럼 오른쪽에 대한 항은 1과 같을 것입니다.

위에서 정의된 것처럼, 리만 적분은 $I_{\mathbb {Q} }$를 적분하는 것을 거부함으로써 이 문제를 회피합니다. 르베그 적분은, 모든 이들 적분이 0인 그러한 방법에서 정의됩니다.

Properties

Linearity

리만 적분은 선형 변환입니다; 즉, 만약 f와 g가 [a, b]에 대한 리만-적분가능이고 α와 β가 상수이면, 다음입니다:

$\int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

함수의 리만 적분은 숫자이기 때문에, 이것은 리만 적분을 리만-적분가능 함수의 벡터 공간(vector space) 위의 선형 함수형(linear functional)으로 만듭니다.

Integrability

컴팩트 구간(compact interval) [a, b] 위에 경계진 함수(bounded function)가 리만 적분-가능인 것과 그것이 거의 모든 곳에서 연속(continuous)인 것은 필요충분 조건입니다 (불연속성의 그의 점의 집합은, 르베그 측정(Lebesgue measure)의 의미에서, 측정 영(measure zero)을 가집니다). 이것은 르베그의 적분가능성 조건(Lebesgue's integrability condition) 또는 리만 적분가능성에 대한 르베그의 기준(Lebesgue's criterion for Riemann integrability) 또는 리만–르베그 정리(Riemann–Lebesgue theorem)로 알려져 있습니다. 기준은 르베그 적분(Lebesgue integral)과 아무런 관련이 없습니다. 그것은 르베그(Lebesgue)에 기인하고 그의 측정 영(measure zero)을 사용하지만, 르베그의 일반적인 측정 또는 적분 어떤 것도 사용하지 않습니다.

적분가능성 조건은 다양한 방법으로 입증될 수 있으며, 그 중 하나가 아래에 개요를 기술합니다.

Proof

그 증명은 적분가능성의 다르부 적분(Darboux integral) 정의 (공식적으로, 적분가능성에 대한 리만 조건)를 사용하는 것이 가장 쉽습니다 – 함수가 리만 적분-가능인 것과 높은 및 낮은 합은 적절한 분할을 선택함으로써 임의로 가깝게 만들 수 있는 것은 필요충분 조건입니다. 하나의 방향은 연속성의 진동(oscillation) 정의를 사용하여 입증될 수 있습니다: 모든 각 양의 ε에 대해, Xε를 적어도 ε의 진동을 갖는 [a, b] 안의 점의 집합으로 놓습니다. f가 불연속인 모든 각 점은 양의 진동을 가지고 그 반대도 마찬가지이므로, f가 불연속인 [a, b] 안의 점의 집합은 모든 자연수 n에 대해 {X1/n}에 걸쳐 합집합과 같습니다. 만약 이 집합이 영 르베그 측정(Lebesgue measure)을 가지지 않으면, 측정의 셀-수-있는 덧셈성(countable additivity)에 의해, X1/n이 영 측정을 가지지 않도록, 적어도 하나의 그러한 n이 있습니다. 따라서 X1/n을 덮는(covering) 열린 구간의 모든 셀-수-있는(countable) 모음은 적어도 c의 전체 길이를 갖는 것을 만족하는 어떤 양수 c가 있습니다. 특히 이것은 구간의 모든 각 그런 유한 모음에 대해 역시 참입니다. 이것은 점의 유한한 숫자보다 적은 X1/n에 대해 역시 참으로 남는 것에 주목하십시오 (왜냐하면 점의 유한 숫자는 임의의 작은 전체 길이를 갖는 구간의 유한 모음에 의해 항상 덮혀질 수 있기 때문입니다). [a, b]의 모든 각 분할]]에 대해, 그의 내부가 X1/n으로부터 점을 포함하는 구간의 집합을 생각해 보십시오. 이들 내부는, 아마도 점의 유한 숫자까지 (이것은 구간 끝에 떨어질 수 있을 것입니다), X1/n의 유한 열린 덮개로 구성됩니다. 따라서 이들 구간은 적어도 c의 전체 길이를 가집니다. 이들 점에서 f는 적어도 1/n의 진동을 가지므로, 이들 구간의 각각에서 f의 하한 및 상한(infimum and supremum)은 적어도 1/n만큼 다릅니다. 따라서 f의 높은 및 낮은 합은 적어도 c/n만큼 다릅니다. 이것은 모든 각 분할에 대해 참이므로, f는 리만 적분-가능이 아닙니다. 우리는 이제 위에서 정의된 집합 Xε을 사용하여 역방향을 입증합니다. 모든 각 ε에 대해, Xε는 컴팩트(compact)인데, 왜냐하면 그것은 (a와 b에 의해) 경계지고 닫혀 있기 때문임에 주목하십시오: [a, b] 안에 수렴하는 Xε 안의 모든 각 일련의 점에 대해, 그의 극한은 마찬가지로 Xε 안에 있습니다. 이것은 극한 점의 모든 각 이웃이 Xε 안의 어떤 점의 역시 이웃이기 때문이고, 따라서 f는 그것 위에 적어도 ε의 진동을 가지고 있습니다. 그러므로 극한 점은 Xε 안에 있습니다. 이제, f가 거의 모든 곳에서 연속이라고 가정합니다. 그런-다음 모든 각 ε에 대해, Xε는 영 르베그 측정(Lebesgue measure)을 가집니다. 그러므로, 모든 그들 길이에 걸쳐 합이 임의적으로 작은 것을 만족하는, Xε의 열린 덮개(open cover)인 [a, b] 안의 열린 구간의 셀-수-있는 모음이 있습니다. Xε가 컴팩트이므로, 유한 부분-덮개(subcover)가 있습니다 – Xε 안의 모든 점을 함께 포함하는 임의적으로 작은 전체 길이를 갖는 [a, b] 안의 열린 구간의 유한한 모음이 있습니다. 우리는, 어떤 자연수 k에 대해, 1 ≤ i ≤ k에 대해, 이들 구간 {I(ε)i}로 표시합니다. 이들 구간의 합집합의 여집합(complement)은 자체로 구간의 유한 숫자의 합집합이며, 우리는 이것을 (1 ≤ i ≤ k − 1에 대해 및 아마도 i = k, k + 1에 대해 마찬가지로) {J(ε)i}로 표시합니다. 우리는 이제 모든 ε > 0에 대해, 리만 적분가능성을 따르는 것으로부터, 그의 차이가 ε보다 작은 높은 및 낮은 합이 있다는 것을 보입니다. 이것을 끝내기 위해, 우리는 다음으로 [a, b]의 분할을 구성합니다: ε1 = ε / 2(b − a) 및 ε2 = ε / 2(M − m)를 표시하며, 여기서 m와 M은 [a, b] 위의 f의 하한과 상한(infimum and supremum)입니다. 우리는 임의적으로 작은 전체 길이를 갖는 구간 {I(ε1)i}을 선택할 수 있으므로, 우리는 그들을 ε2보다 더 작은 전체 길이를 가지는 것으로 선택합니다. 구간 {J(ε1)i}의 각각은 Xε1을 갖는 빈 교집합을 가지므로, 그것 안의 각 점은 ε1보다 더 작은 진동을 갖는 이웃을 가집니다. 이들 이웃들은 구간의 열린 덮개(open cover)로 구성되고, 구간이 컴팩트이므로 그들의 유한 부분-덮개가 있습니다. 이 부분-덮개는 열린 구간의 유한 모음이고, 이것은 (우리가 J(ε1)i)와 그들 교집합을 오직 취하는 것에 대해, 끝점을 포함하는 그들을 제외하고) J(ε1)i의 부분-구간입니다. 우리는 모든 J(ε1)i − s에 대해 부분-구간의 끝점을 취하며, 우리의 분할처럼, 구간 그들 자신의 끝점을 포함합니다. 따라서 분할은 [a, b]를 구간의 두 종류로 나눕니다: 후자 종류의 구간들 (어떤 J(ε1)i의 그들-자신 부분-구간). 이들의 각각에서, f는 ε1보다 작은 것만큼 진동합니다. 이들의 전체 길이가 b − a보다 크지 않으므로, 그들은 분할의 높은 및 낮은 합 사이의 차이에 대한 많아야 ε∗ 1(b − a) = ε/2를 함께 기여합니다. 구간들 {I(ε)i}. 이것들은 ε2보다 작은 전체 길이를 가지고, f는 M − m 이상으로 그들 위에 진동합니다. 따라서 함께 그들은 분할의 높은 및 낮은 합 사이에 차이에 대한 ε∗ 2(M − m) = ε/2보다 작게 기여합니다. 전체에서, 분할의 높은 및 낮은 합 사이에 차이는, 요구된 것처럼, ε보다 작습니다.

특히, 많아야 셀-수-있는 것인 임의의 집합은 르베그 측정(Lebesgue measure) 영을 가지고, 따라서 오직 유한하게 또는 셀-수-있게 많은 불연속을 갖는 (컴팩트 구간 위에) 경계진 함수는 리만 적분-가능입니다.

경계진 집합의 지시 함수(indicator function)가 리만-적분가능인 것과 집합이 조르당 측정-가능(Jordan measurable)인 것은 필요충분 조건입니다. 리만 적분은 조르당 측정의 관점에서 적분으로 측정-이론적으로 해석될 수 있습니다.

만약 실수-값 함수가 구간 [a, b] 위에 단조(monotone)이면, 그것은 리만-적분 가능인데, 왜냐하면 불연속성의 그의 집합은 많아야 셀-수-있고, 그러므로 르베그 측정 영이기 때문입니다.

만약 [a, b] 위에 실수-값 함수가 리만-적분가능이면, 그것은 르베그-적분가능(Lebesgue-integrable)입니다. 즉, 리만-적분가능성은 르베그-적분가능성보다 (만족하기 위해 보다 어려운 것을 의미하는) 더 강한 조건입니다.

만약 f_n가 극한 f를 갖는 [a, b] 위의 균등하게 수렴(uniformly convergent)하는 수열이면, 모든 f_n의 리만 적분가능성은 f의 리만 적분가능성을 의미하고, 다음입니다:

$\int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.$

어쨌든, (단조 점마다 극한 위의) 르베그 단조 수렴 정리(Lebesgue monotone convergence theorem)는 유지되지 않습니다. 리만 적분화에서, 적분 기호 아래에서 극한을 취하는 것은 르베그 적분화에서 보다 논리적으로 정당화하기가 훨씬 더 어렵습니다.

Generalizations

임의의 n에 대해 유클리드 벡터 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 안에 값을 갖는 함수로 리만 적분을 확장하는 것은 쉽습니다. 적분은 구성 요소-별로 정의됩니다; 달리 말해서, 만약 f = (f₁, ..., f_n)이면, 다음입니다:

$\int \mathbf {f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right).$

특히, 복소수는 실수 벡터 공간(vector space)이므로, 이것은 복소 값 함수의 적분을 허용합니다.

리만 적분은 경계진 구간 위에 오직 정의되고, 그것은 무-경계 구간으로 잘 확장되지 않습니다. 가장 간단한 가능한 확장은 그러한 적분을 극한, 다른 말로, 부적절한 적분(improper integral)으로 정의하는 것입니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty \atop b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

이 정의는, 그것이 코시 주요 값(Cauchy principal value)을 계산하는 것이 항상 동등하지 않다는 사실과 같은, 약간의 미묘함을 수반합니다:

$\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx.$

예를 들어, x = 0에서 0, x > 0에 대해 1, x < 0에 대해 −1인 함수 f(x)를 생각해 보십시오. 대칭에 의해, a에 관계없이, 항상 다음입니다:

$\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0$.

그러나 실수 직선을 채우기 위한 적분화의 구간에 대해 확장하는 것은 여러 가지 방법이 있고, 다른 방법은 다른 결과를 생성할 수 있습니다; 달리 말해서, 다변수 극한이 항상 존재하는 것은 아닙니다. 우리는 다음을 계산할 수 있습니다:

${\begin{aligned}\int _{-a}^{2a}f(x)\,dx&=a,\\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx&=-a.\end{aligned}}$

일반적으로, 이 부적절한 리만 적분은 정의되지 않습니다. 비록 실수 직선에 접근하는 구간에 대해 방법을 표준화한다고 할지라도 동작하지 않을 것인데 왜냐하면 그것은 혼란스럽게 반직관적인 결과로 이어지기 때문입니다. 만약 우리가 부적절한 적분은 항상 다음인 것을 (예를 들어) 동의하면:

$\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx,$

평행이동 f(x − 1)의 적분은 −2이므로, 이 적분은, 매우 원하지 않는 속성, 이동 아래에서 불변이지 않습니다. 사실, 이 함수는 부적절한 리만 적분을 가지지 않을 뿐만 아니라, 그의 르베그 적분 역시 정의되지 않습니다 (그것은 ∞ − ∞와 같습니다).

불행하게도, 부적절한 리만 적분은 충분히 강력하지 않습니다. 가장 심각한 문제는 함수의 극한을 갖는 부적절한 리만 적분을 계산하기 위해 널리 적용할 수 있는 정리가 없다는 것입니다. 푸리에 급수(Fourier series)와 같은 응용에서, 함수에 대한 근사의 적분을 사용하여 함수의 적분을 근사할 수 있는 것이 중요합니다. 적절한 리만 적분에 대해, 표준 정리는 만약 f_n이 컴팩트 집합 [a, b] 위에 f에 균등하게 수렴하는 함수의 수열이면, 다음임을 말합니다:

$\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

실수 직선과 같은 비-컴팩트 구간 위에, 이것은 거짓입니다. 예를 들어, f_n(x)를 [0, n]에서 n⁻¹인 것으로 취하고, 다른 곳에서 영을 취합니다. 모든 n에 대해 우리는 다음을 가집니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx=1.$

수열 {f_n}은 영 함수에 균등하게 수렴하고, 분명하게 영 함수의 적분은 영입니다. 결론적으로,

$\int _{-\infty }^{\infty }f\,dx\neq \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx.$

이것은 무-경계 구간 위의 적분에 대해, 함수의 균등 수렴은 적분 기호를 통해 극한을 통과시킬만큼 충분히 강력하지 않음을 보여줍니다. 이것은 (비록 리만 적분이 양측에 정확한 값을 할당할지라도) 리만 적분을 응용에서 동작하지 않게 만드는데, 왜냐하면 극한과 리만 적분을 교환하기 위한 다른 일반적인 기준이 없고, 그러한 기준이 없이 그들의 피적분을 근사함으로써 적분을 근사하는 것이 어렵기 때문입니다.

더 좋은 경로는 르베그 적분(Lebesgue integral)에 대해 리만 적분을 넘겨주는 것입니다. 르베그 적분의 정의는 분명히 리만 적분의 일반화는 아니지만, 모든 리만-적분가능 함수가 르베그-적분가능이고, 그들이 둘 다 정의될 때마다 두 적분의 값이 일치한다는 것을 입증하는 것은 어렵지 않습니다. 게다가, 경계진 구간 위에 정의된 함수 f는 리만-적분가능인 것과 그것이 경계지고 f가 불연속인 점의 집합은 르베그 측정 영을 가지는 것은 필요충분 조건입니다.

사실 리만 적분의 직접 일반화인 적분은 헨스탁–쿠르즈베일 적분(Henstock–Kurzweil integral)입니다.

리만 적분을 일반화하는 또 다른 방법은 리만 합의 정의에서 인수 x_{k + 1} − x_k를 어떤 다른 것으로 대체하는 것입니다; 대략 말해서, 이것은 적분화의 구간에 길이의 다른 개념을 부여합니다. 이것은 리만–스틸티어스 적분(Riemann–Stieltjes integral)에 의해 취해진 접근입니다.

다변수 미적분학(multivariable calculus)에서, $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$으로부터 함수에 대해 리만 적분은 다중 적분(multiple integral)입니다.

See also

• Area
• Antiderivative
• Lebesgue integration

References

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
• Apostol, Tom (1974), Mathematical Analysis, Addison-Wesley

External links

• "Riemann integral", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]